IV. — Applications au problème des n corps

93. Considérons n points matériels s'attirant mutuellement suivant des forces proportionnelles à leurs masses et inversement proportionnelles à une puissance donnée de leur distance. Il existe une fonction des forces

l'exposant p étant donné (égal à i dans le cas de la Mécanique céleste), la quantité r,^ désignant la distance des deux points M; et M^ de masses m, et rtij. Les équations du mouvement du système admettent un certain nombre de transformations infinitésimales évidentes. D'abord le temps n'entre pas explicitement dans ces équations. En outre, de toute solution du problème on en déduit une autre par un déplacement d'ensemble dans l'espace, et aussi en communiquant à chacun des n points un mouvement rectiligne et uniforme supplémentaire (le même pour tous les points). On déduit immédiatement de là l'existence des transformations infinitésimales

^j=iâ' ''f=i& ^«^=2^^

La transformation Ai/ correspond à une translation parallèle à Ox, la transformation A^f à une rotation autour de Ox, la transformation A,/ à un mouvement supplémentaire de vitesse constante e parallèle à Ox.

On peut enfin indiquer une dernière transformation infinitésimale fondée sur des considérations d'homogénéité. Les équations

d'x^ ôU d'y^ ôU d'zc dU

df ôx.' dt ôj. dt i>Zi

restent en effet inaltérées si on multiplie toutes les coordonnées x., j., z. par

un même facteur constant X, à condition de multiplier t par X ; les compo-

santés x'i,y'i,Zi des vitesses sont alors multipliées par X \ En prenant X = 1 + e, on arrive à la nouvelle transformation infinitésimale

'"•^ ..^ dXi '' ÔJi dZ. 2\ ÔX, '' ÔJi bZil \ 2J dt

Remarquons que, d'après la définition même de U, on a

AoU = AiU = ... = A,U = o, A,oU = — pU.

94. Rappelons l'invariant intégral fondamental du second degré

M ==y^m i [8x-: 8x i]+m ,■ [oj,- oyi]+mi [Bz'i oz .• ]— I ^"i •• (^'•- 5-x'.- +y'i 8/.- +z'i 8z',)SM

Désignons par w, la forme linéaire w'(A;, o). Il existe onze formes linéaires invariantes Wq, wj, ..., wjq. Il est facile de voir a /)riori, d'après la formule (5), que les dix premières sont des difiFérentielles exactes, car a>' ne change pas par l'une quelconque des dix premières transformations infinitésimales. Quant à cojo, la formule (5) donne

or w' a un degré d'homogénéité (au sens défini plus haut) égal à i ; on

a donc

Ko)' = i^I — 2

et wjo ne sera une différentielle exacte que si p = 2, c'est-à-dire si l'attraction se fait proportionnellement aa cube de la dislance.

Le calcul des onze formes w, n'offre aucune difficulté et donne

ioq = ^,m,(g;'..5x'.--t- /iûj'.-f- z'.ôz',.) — SU = 8H, a)i = — ^m,-8aî'i3=SHi, W2 = — ^.f^ i ^y'i = 8H2,

<«>, = ^J^i^Zf = ÔII3,

to^=^m,(ZiOy, — j.8z',-hj'.-8z,— 2',8j..) = 8H^, a)g = ^m,(a:,-6z',- — z,-8x',-|- z'.-Sx,- — x\8zi) = àï{^,

^6 =2"' •■ ^^ ' ^^'' ~^ • ^^'" "^^'' ^J i — /• ^^ • ) = ^Hg , a)^=:^m.(Sa:.- — <8a;'.- — a:',- 8/) = 8H.,

o>j=r^m,.(oz. — /6z'.. — z\ot) z=8Hg, u),o=: — ^^m.(a;..8a;^H-y.8y;-Kz.6z'.-h-a;l;8a;;-h-j^'..Sy;+^z'<8z;)