i+^\r«H-4-pH8f

go LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

on a posé

H. = Vm,z'..,

Hjj = ~^m .. (z , x\ —x.z'i),

H, = — 2"» .• (^ .y.- — r •• a;'i ) . H7 =^ mi{Xi — tx'i),

On vérifie facilement que le covariant bilinéaire de tojo est égal à ( i — - jw'. Si p = 2, on a la nouvelle intégrale première

^m,(x,a;',+ J.j'.H- îiz'i) — aHi = G, qui donne, en intégrant,

^m,{x)-hy]-hz*,) = 2Ïie-h3Ct-hC':

c'est l'intégrale de Jacobi.

Les intégrales premières Hj, H2, H3, H,, H,, Hg sont celles que fournit le théorème du centre de gravité; les intégrales premières H4, H5,H5 sont celles que fournit la loi des aires.

95. Nous n'avons obtenu directement, dans le numéro précédent, que les différentielles des intégrales premières H^ et non ces intégrales elles-mêmes. Elles vont nous être données elles-mêmes en appliquant à chacune des formes invariantes w , l'opération correspondant à la transformation infinitésimale Ay/. Nous obtiendrons ainsi des fonctions invariantes, c'est-à-dire des intégrales premières

qij = C0j(A;) = w'(Ai, Aj) = — aji

que nous allons écrire suivant un tableau à double entrée qui sera manifestement symétrique gauche. Les calculs n'offrent aucune difficulté : la quantité ajj se trouve à l'intersection de la ligne i et de la colonne /. La lettre M désigne la somme des masses des n corps.