IH

Ha

— Hi

-fH,

-Hg

-He

(-f)Hs

Hfi

Hb

(-i)Ha

-Ht

pH

4 Ht

fH,

iH3

ii-OHfi

(l-OHe

-Hg

Il est à remarquer que le déterminant des éléments du tableau précédent est nul, puisque c'est un déterminant symétrique gauche de degré impair. Il

existe donc onze coefficients X^ non tous nuls tels que l'eipression^Xj^i devienne nulle quand on lui applique l'opération relative à l'une quelconque des transformations Aj/. On voit facilement que Xj^ est nul. Le calcul donne pour l'expression ^ ,X,«)f , qui n'est définie qu'à un facteur près,

pm

en posant

K= (MH4-+-H2H,-HsH,)«+(MH,-f H3H,-H,H,)24-(MH,+H,H -HjH,)».

Dans le cas de la Mécanique céleste, p =z i ; l'expression -^ 4- -jj- est la

différentielle logarithmique de HK. Cette quantité HR est donc invariante par toutes les transformations A^/. Il est dès lors facile d'avoir son interprétation en choisissant convenablement les axes de coordonnées. En prenant pour origine le centre de gravité, ce qui est permis puisqu'il est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme, on voit que Hi, H2, H3, H^, Hg, Hg s'annulent. La quantité invariante est alors, à un facteur constant près, I1(HÎ H- HJ 4- H^), c'est-à-dire le produit du carré du moment cinétique du système dans son mouvement autour du centre de gravité par Vénergie totale du système dans ce même mouvement. Cette quantité est visiblement en effet indépendante du choix des axes et du choix des unités.

V, — Application à la Cinématique du corps solide.

96. Considérons le mouvement d'un corps solide rapporté à trois axes rectangulaires fixes. On sait qu'à chaque instant il est défini par un système de vecteurs de résultante générale (p, q, r) et de moment par rapport à l'origine (^, -ï], Ç). Supposons que ces six quantités soient des fonctions données du temps. Les équations différentielles du mouvement d'un point du corps solide sont

dx . ^ V

— = ^-]-qz — ry=:X,

Tt^'^ -f-rx — p0 = Y,

j^=K-hpy — qx=Z.

Ces équations admettent un invariant intégral évident. Si en effet on considère à l'instant t deux points infiniment voisins

[x, y, z), {x -h 8rr, j H- Sy, z + 8z)

du corps solide, la distance de ces deux points ne varie pas avec le temps. On a donc une forme différentielle

qui est invariante si on ne considère que des points au même instant, et qui devient invariante d'une manière absolue si on la complète en remplaçant respectivement

OX, ÔJ, oz

par

Sa; — XS<, 8y — Y5t, 8z — Zot. Soit

F = (Sx — XS<)2 -f- (Sj — YSi)2 -I- {8z — ZUf

cette forme invariante, à laquelle correspond la forme bilinéaire invariante

F(S,S')=(5x— XS/)(S'cc— XS'f)+.(Sj— YSi)(8'j— Y8'<)-H(8z— ZSO(S'z — ZS'f).

Cette forme bilinéaire n'est pas alternée, mais symétrique ; néanmoins les raisonnements faits au n" 88 restent valables.

Supposons ^, 75, Ç, p, q, r constants; les équations différentielles du mouvement admettent alors la transformation infinitésimale

par suite de la forme F on peut déduire une autre forme invariante

i g^ -= X(8x — X8t) — Y(Sj — Y8t) — Z{8z — Z8t).

SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS ET TRANSFORMATIONS INFINITÉSIMALES gS

Le même procédé peut être ici répété et donne cette fois une intégrale première -- -^'^ — X- -h Y- -4- Z^.

Celle intégrale première est évidente géométriquement. Le mouvement du corps solide est hélicoïdal, et l'intégrale précédente est égale au carré de la vitesse du point considéré, vitesse qui reste bien égale à elle-même pendant , toute la durée du mouvement.

VI. — Equations différentielles admettant une transformation infinitésimale.

97. Dans les exemples précédents nous supposions connu un invariant intégral. Supposons maintenant qu'on connaisse seulement une équation (variante, par exemple l'équation

a)(ô) ^ Cl 8x1 H- a2Sa;2 H- ... -h «n^x^ = o.

Dire que celle équation est invariante, c'est dire qu'elle peut s'écrire de manière à ne contenir que les intégrales premières jj, ..., j„i des équations diflerenlielles données et leurs différentielles ; autrement dit on a

w(8) = p[6i(y)Sj, -h 62(7)572 4- ... -h 6„i(r)5j„,],

les 6; ne dépendant que de jj, ..., jn-i et p étant une fonction quelconque, llcniplaçcns le symbole de différentiation indéterminée S par le symbole de la transformation infinitésimale A/. On a immmédiatement

^{^) f>i{y)àyi -+- 62(7)572 H- ... H- 6,.-i(j)5j„i o)(A) 6i(7)A7i + 6,(7)A72 -f- ... h- 6„i(j)A7„i'

et le second membre est manifestement une forme linéaire invariante.

La connaissance d'une transformation infinitésimale Af qu^admet un système ^équations différentielles données et la connaissance d^une équation de Pfaff j(8) = o invariante pour ce système entraîne la connaissance d'un invariant

itégral linéaire I -yp

Supposons par exemple qu'on ait affaire à une équation différentielle ordinaire

dx dy

elle est invariante pour elle-même; par suite si elle admet une transformalion infinitésimale

•^ ôx ' 07

94 LEÇONS SUR LES ITCVAHIAl^TS INTEGRAUX

elle admet par cela même la forme linéaire invariante

comme ici il y a une seule intégrale première, celle forme est nécessairement une différentielle exacte. Autrement dit on connaît un facteur intégrant de l'équation. C'est un résultat classique,

La plupart des équations diffcrenlielles qu'on sait intégrer peuvent se rattacher à la remarque précédente. Il en est ainsi des équations

la dernière de ces équations, par exemple, ne change pas si on multiplie x et y par un même facteur constant i -t- s ; elle admet donc la transformation infinitésimale

par suite l'expression

A/ = œ -^ -h y — ; •^ àx -' dy

dy-fi^

dx

est une différentielle exacte. Cette propriété devient évidente si on pose

y — ax, car alors l'expression devient

du dx

u—f{a)'^lc'

L'intégration de cette différentielle exacte conduit aux mêmes calculs que la méthode classique.

98- Enfin, même si on ne sait rien a priori sur un système d'équations différentielles données, la connaissance d'une transformation infinitésimale qu'admet ce système permet d'obtenir un système de Pfaff invariant. Cherchons en effet toutes les équations de Pfaff w = o qui sont des conséquences des équations différentielles données et telles que io(A) soit nul. Si on pose

w(S) = li8xi H- XjSxj H- ... -+- X„Sa:„,

les coefficients X, sont donnés par les deux conditions

X,Xi -+-X,X. 4-...+X„X„ = o,

L'ensemble des équations cherchées forme donc un système de Pfaff obtenu en annulant tous les déterminants à trois lignes el trois colonnes du tableau

Bxi 8x2 ... 8x„

Xi Xj ... x„

STSTÈMIS DIFFÉRENTIELS ET TRANSFORMATIONS INFINITÉSIMALES qB

Ce système a une signification indépendante du choix des variables. Or si on prenait pour variables n— i intégrales premières y^, ...,y„i et une nièmo variable, Xn par exemple, les équations se réduiraient à

&=& = ...=|tl (,,= Aj,).

Le système de Pfaff considéré est donc invariant, et manifestement il est complètement intégrable, puisqu'il se réduit à un système d'équalions différentielles ordinaires en y,, .... j„i-

Par exemple si les équations

dx dy di X ^ Y - Z

admettent la transformation infinitésimale

l'équation aux différentielles totales

dx dy dz \

est complètement intégrable. En l'intégrant, on obtiendrait une intégrale première des équations données. En égalant enfin cette intégrale première à une constante, on serait ramené à une équation différentielle ordinaire admettant une transformation infinitésimale connue, qui s'intégrerait par une quadrature.