VIII. — Exprimer qu'un système d'équations

différentielles données admet une transformation

infinitésimale donnée.

99. Nous n'avons pas encore indiqué les conditions analytiques exprimant qu'un système d'équations différentielles données

dxi

dx2

dx^

admet une transformation infinitésimale donnée

Posor

dXi

dX2

" dXi

II s'agit au fond d'exprimer que si /est une intégrale première, c'est-àdire satisfait à l'équation

A/ est aussi une intégrale première; autrement dit, il s'agit d'exprimer que l'équation

est une conséquence de l'équation

Nous pouvons substituer à la première équation, qui contient les dérivées partielles du second ordre def, l'équation

qui, comme un calcul facile le montre, est linéaire et homogène par rapport

à -^, ..., -^. La condition cherchée est donc tout simplement V existence

d'une identité de la forme

(7) X(A/)-A(X/) = pX/,

p désignant un coefficient convenablement choisi.

Cette condition est visiblement vérifiée si l'on prend la transformation infinitésimale dont le symbole est X/ ; cette transformation déplace chaque point M de l'espace sur la courbe intégrale passant par ce point ; elle laisse donc invariante chaque courbe intégrale. Si on porte son attention sur l'efTet produit sur les courbes intégrales, considérées comme des êtres indivisibles, cette Irans formation infinitésimale particulière joue le même rôle que la transformation identique. On vérifiera facilement que les applications des transformations infinitésimales faites dans ce Chapitre s'évanouissent dans ce cas particulier. La même remarque s'appliquerait à la transformation infinitésimale )^X/, où X est un facteur arbitrairement donné.