VIII. — Equations aux variations

100- La notion d'équation aux variations est due à H. Poincaré; on peut la relier à la notion de transformation infinitésimale.

Considérons un système d'équations différentielles que nous écrirons

les seconds membres étant des fonctions données de o^i, ..., x„, t. Soit

(9) ^i =/l(0, .^2 =/.(0. -, ^n =fn{t)

SYSTEMES DIFFERENTIELS ET TRANSFORMATIONS INFINITESIMALES 97

une solution particulière de ce système. Prenons une solution infiniment voisine

^i==fi{t)-\-^U, X,=f,{t)-i-e':i,, ...,x„=f„{t)-\- s:-„,

OÙ £ est une constante infiniment petite et les ^ dès fonctions inconnues de t. En négligeant les inûniment petits du second ordre, nous obtenons, pour définir ces fonctions inconnues, les équations

, V d^Zi dXi , dXi ^ dXi . ,.

ce sont les équations aux variations relatives à la solution particulière considérée. Il peut se faire qu'on connaisse une solution particulière des équations aux variations, indépendamment de la solution particulière des équations données qui a servi à former ces équations aux variations. Les quantités ^j, ..., È,i sont alors en réalité des fonctions déterminées de Xi, ,.., /, satisfaisant aux équations aux dérivées partielles

Dans ce cas les équations données admettent manifestement la transformation infinitésimale

•^ ' ^x^ ÔX2 " dx„

cette transformation a en effet pour équations

x[ == îc, -f- e^i ,

la courbe transformée de la courbe intégrale (9) a pour équations

Xi -i- di = fi{t) ou

c'est encore une courbe intégrale puisque ( — ^j, ..., — ^„) constituent une solution des équations aux variations.

Plus généralement à toute solution (^,) des équations (11) correspondent une infinité de transformations infinitésimales laissant le système donne (8) invariant, à savoir les transformations

(I.) Bf= $, -^ + ... + ^, -^ 4- X (5( + X, ^ + ... -I- X„ ^

avec une fonction arbitraire X.

Réciproquement supposons qu'on connaisse une transformation infinitésimale laissant le système donné invariant : elle peut toujours se mettre sous

E. Cartan. — Leçons sur les Invariants intégraux, 7

98 LEÇONS SUR LES OVARIA^JTS INTÉGRAUX

la forme (13). La courbe intégrale (9) est changée par celte transformation dans la courbe

Xi -+- t^i -+- eXXi =fi{t -f- eX) OU

Xi =Jit) - s?, H- eX[//(0 - X,] =Ji[t) - e?,; par conséquent les équations aux variations (11) admettent la solution

Toutes ces propriétés résultent du reste de ce que les équations (i i) ne font que traduire analytiquement la relation (7) lorsque, dans A/, le coefficient de -4 est nul.