Un système de /i équations de Pfaff
f coj ^ Qiidxi + ttiidx^ H- ... + Omdxn = O,
' co,, = a,^,dxi -+- Oh^dxz + ... + a^ndxn = o est complètement intégrable lorsqu'il peut se mettre sous la forme (a) dyi =-- rfj2 = ... = dy,, = o.
S'il en est ainsi chacune des formes w, est linéaire en dy^, ..., dyi,r^i par. suite sa dérivée w/ s'annule en tenant compte de (2), c'est-à-dire de (ï;.
Pour qu'un système de Pfaff soit complètement intégrable il faut que les dérivées de ses premiers membres s'annulent toutes en tenant compte des équations du système.
Pour démontrer la réciproque, remarquons d'abord que la propriété que nous venons d'énoncer ne dépend pas du choix des variables et ne dépend pas non plus du choix des r premiers membres : autrement dit, si l'on écrit les équations du système sous la forme
Toi ^ «11^1 -+- û!i2t02 -+- ... -h oiih^h = o,
les dérivées bj/, vsz', ..-, nr/, s'annulent aussi en tenant compte des équations du système : on a en effet
tu/ = a^i^i' H- ajjWa' H- ... -f- ai/^W/,' -+- [da.iW,] -H [rfa.aWj] -+- ... -f- [da^htà/^]
et chacun des termes du second membre s'annule par hypothèse dans les conditions indiquées.
Cela posé, supposons que la réciproque soit démontrée jusqu'à n — i variables, et démontrons-la pour n variables. Les w/ s'annulant en tenant compte des équations (i), s'annuleront à plus forte raison si on fait en outre dxn = o ; par suite, si on regarde x„ comme un paramètre fixe, le système (i) est réductible à la forme
dji = o,
àjh = o,
où Ti, ..., j/i sont h fonctions indépendantes de Xi, .... t„i, mais peuvent contenir aussi le paramètre a:,i. Si maintenant on ne l'egarde plus a;„ comme constant, le système est évidemment réductible à la forme
[ wi ^ dyi -+- b^dxn = o, (3)
( TOft = dy,, -+- b^dxn = o,
où bi, ..., b/i sont des fonctions de ji, ..., j/^et, par exemple, de x^^i, ...^Xn. On a, de plus,
ht/ = [db^dx„], .... ht/ == [dbiidxj,] ;
en tenant compte des équations (3), ces formules se réduisent à
"'•' = ^, ^^^^.4 l^^n] + - + ^ [dXn-^dx„].
L'hypothèse entraîne donc comme conséquence que les coefficients 6, ne dépendent que de ji, ..., j/„ x„. Mais alors les équations (3) constituent un système d'équations différentielles ordinaires, qui par suite peuvent se réduire à la forme
dzi = o, .... dzfi =z o,
les lettres Zj, ..., z/, désignant h intégrales premières indépendantes.
102. Le théorème précédent, dû à Frobenius, permet {n° 64) d'exprimer par les relations
[wj ... tO/iCOi'l = o, ..., [wi ... tO/jW//] = o
les conditions nécessaires et suffisantes d'intégrabilité complète du système donné.
Prenons l'exemple d'une équation de Pfaff à trois variables
co ^ Pdx -h Qdy + ^dz = o ;
la condition d'intégrabilité complète est
(...'l^[(P,;..Q.,+Ra.)(|-^rf,.. + ?£g,.,.^g|,.d,)]
rv5?
LES SYSTEMES DE PFAFF COVIPLETEMENT INTEGRABLES
II. — Formation du système caractéristique d'un système de Pfatf.
103. On peut donner au raisonnement fait plus haut une autre forme en cherchant d'une manière générale le système de Pfaff caractéristique d'un système donné quelconque (i).
Pour que le système (i) soit invariant pour les équations différentielles
dxi dx,i
il faut et il suffît que les équations de (i) puissent s'exprimer au moyen des intégrales premières de (4) et de leurs différentielles ; donc il faut d'abord que wj, ..., 0)/, s'annulent en tenant compte de (4) et il faut ensuite que les formes
puissent s'exprimer au moyen des différentielles des intégrales premières de (4) ; autrement dit il faut que le système associé des formes
U)i, Wj, ..., (Oft. [Wi ... WftW/], ..., [tOi ...,tO;,a);i']
soit une conséquence des équations (4).
Réciproquement si cette condition est réalisée et si jj, ..., j„i sont des intégrales premières de (4), on pourra ramener les équations à la forme
T!j, = dyt 4- 6i,ft+iC?jA+i -4- ... + èim-i^Xn-i = o»
toa = dy,, H- h,h+idyh+i + ... -h h,n-idyn-i =o;
la forme [wi ... nr/jxnj'] ne devant pas faire intervenir dx^, les dérivées
^ "^+', ..., - ''"-' sont toutes nulles; par suite les équations (i) peuvent
s'écrire de manière à ne faire intervenir que les intégrales premières du système (4) et leurs différentielles. Donc le système (i) est bien invariant pour les équations (4).
Il résulte de là que le système caractéristique de (i) rtcst autre que le système associé des formes
0)1, ..., w/,; [u)i ... a)/,u)i'], ..., [toi ... 10^10^'].
En particulier pour que le système soit complètement intégrable il faut et il suffit que ce système soit identique à (1), c'est-à-dire que les formes
soient identiquement nulles.
I02 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX
104. On peut encore obtenîr les équations du système caractéristique de (i) sous la forme
a>i = O, ^2 = O, ..., Wft =r o,
d{dxi} d{dxi) '" d{dx„)
Ofii aui ... a^n
En particulier le système caractéristique d'une équation de Pfaff
w ^ Oidxi -\- Ozdx^ 4- ... H- a„dxn = o
est donné par les équations
Gidxi 4- a^dxi + ...-[- a„£?a;„ = o, a^àxi -h audxj -+•...-{- amdxr, aaicfrri -4- a^sdxs -h ... -f- a2„d.r„
OnWa;, + ... + an,n-ldXn-i
en posant
dXi
Nous reviendrons plus loin sur ce système (Chapitre XIV).
ni. — L'intégration d'un système de Pfaff complètement intégrable.
108. Revenons à un système de Pfaff complètement intégrable que nou» écrirons
dzi = aiidxi
ai„dx„.
dzh = a^idxi -4- ... 4- a^^dx^
U intégration de ce système revient à celle d'un système d'équations différentielles ordinaires à h fonctions inconnues Zi, ..,, z/, d'une seule variable indépendante Xi.
Nous savons en effet que le système admet une solution et une seule correspondant à des valeurs initiales données (xj, z"). Pour avoir les valeurs des fonctions inconnues z,, .... z^ corrrespondant à un système de valeurs numériques données x\, ..., x* des variables indépendantes, déplaçons-nous sur la variété intégrale depuis le point [x]) jusqu'au point {x\) et suivons la variation des Zj ; quelle que soit la succession des valeurs intermédiaires des
LES SYSTÈMES DE PFAFF COMPLÈTEMENT INTÉGRABLES Io3
variables indépendantes, le résultat sera toujours le même. Posons par exemple
x^ —x\ = m, (a-, — xi) x^ — xl = m^{x^ — xj),
en désignant par m^, ..., m, les q — i quantités
Nous aurons
dzt = {a^^ -+- a.jmj -f- ... -h a,^m^)dx, (6)
dz^ = {a^^ 4- a,,.im^ -h ... -H a,,mj(iaî,.
Il nous suffira d'intégrer ce système d'équations différentielles ordinaires et de déterminer la solution qui, pour ar, = rrj, correspond aux valeurs zj, ..., zl des fonctions inconnues. Une fois cette solution déterminée, on aura z\, ..., zl en remplaçant les quantités paramétriques nij, ...,m, par leurs valeurs indiquées plus haut.
En fait on supprimera les indices supérieurs i : on se contentera de rem-
placer, dans la solution obtenue, m. par — i et on aura ainsi les expressions des fonctions inconnues z^, ..., z,. .
Il est à remarquer que la connaissance d'une intégrale première du système d'équations différentielles ordinaires (6) aux q — i paramètres m. n'entraîne pas forcément la connaissance d'une intégrale première du système de PJaff (5).
;IV. — Les systèmes complets.
:^ 106. Revenons au système complètement intégrable (i) dont nous désignerons par y y, ..., y/, un système de h intégrales premières indépendantes. Choisissons arbitrairement n — h formes différentielles linéaires
indépendantes entre elles et indépendantes des formes wj, ..., o)/,. Toute forme linéaire en dxi, ..,, dxn pourra s'exprimer, d'une manière et d'une
seule, en fonction linéaire de wj w„. Prenons alors une fonction / inc/é-
tèrminée et considérons sa différentielle totale
df=^dx,-^-^dx, + ...-^^dx„;
on pourra l'exprimer linéairement au moyen de wj, ..., u)„, les coefficients étant manifestement linéaires et homogènes en -^, ••-. — . Soit
° ÔX, '■^' bXn
(7) df^ XJ . co. + Xî/ . a,, + ... -4- X„/. 0,,. ,
lO/i LtÇONS SLR LES INVARIA>'TS INTÉGRAL X
Les n expressions X,/sont linéairement indépendantes en -^. •••, -^•
Cela posé, toute intégrale première du système complètement intégrable (i) est caractérisée par la propriété que sa différentielle, considérée comme forme linéaire en dxi, ..., dx^, s'annule sous la seule condition que les eq^iations (i) soient vérifiées ; autrement dit par la propriété d'annuler
Le système de n — h équations aux dérivées partielles linéaires indépendantes
admet donc h solutions indépendantes jj, ..., yu-
Réciproquement supposons que le système (8) admette h solutions indépendantes (il ne peut manifestement pas en admettre davantage)
ji yh-
L'identité (7) nous donne
(9) <fji = Xiji . wj H-Xjjf . 0)2-1- ... -V X/,;yi . coft (i= 1,2, ..., /i).
Comme les jj sont des fonctions indépendantes, les seconds membres des équations (g) sont des combinaisons linéairement indépendantes de wi ,0)2 , , . .,10^. Par suite le système (i) est équivalent à (2), donc complète menl intégrable.
Convenons de dire que les équations (8) forment un système complet si elles admettent le nombre maximum h de solutions indépendantes. Nous voyons qu'à tout système de Pfoff complètement intégrable correspond un système complet et réciproquement. La correspondance est telle que si les équations du système de Pfaff sont
tOj = 0)2 = ... = Wa = O,
celles du système complet sont
Xa+i/= Xa+2/= ... = X„/= o.
107. Il est facile de trouver les conditions pour qu'un système donné d'équations aux dérivées partielles linéaires du premier ordre soit complet.
Partons de l'identité (7) et dérivons-la extérieurement. Nous aurons facilement
(9) f^xj. u>; +2S^'(V) [-.-.] = 0-
Les n covariants to'^ peuvent s'exprimer comme formes quadratiques extérieures de o), a)„; soit
(10) W, = 2 Cijk[^i<^j]'
En égalant à zéro, dans l'identité (9), l'ensemble des termes en [w^w^], on trouve
(n) X..(X,/) X,(X,/) +%,-,.XJ= o.
LES SYSTÈMES DE PFAFF COMPLÈTEMENT IXTEGRABLES 105
On remarquera la dualité des formules (lo) et (i i).
Supposons alors le système (i) complètement intégrable. Cela signiQe,
d'après le théorème de Frobenius, que w',, ...,a)',. s'annulent avec w, W;, ;
autrement dit qu'on a
<^h + i,h+j,k = o {i'j = 1' '•> ^ — h; k = 1, ..., h). Par suite, d'après (i i), les combinaisons
ne dépendent linéairement que de X,,+,y, ..., X„/. La réciproque est évidente. Convenons de désigner par (XY) la combinaison X(Y/) — Y(Xy'). On voit que la condition nécessaire et suffisante pour qu^un système soit complet est que .«s parenthèses de tous las premiers membres pris deux à deux soient des combinaisons linéaires de ces premiers membres.
