Considérons un système d'équations différentielles

u; -5^ — Al, -^ A2, ..., -^A„

admettant un invariant intégral de degré maximum n

Q = M[{8x, — Xi8<) (ôxj — Xîôi) ... (Sa-„ — X„S/)].

Comme nous l'avons vu (n° 80), la condition pour qu'il en soit ainsi est que la dérivée extérieure û' soit nulle, ce qui donne par un calcul facile

aM ^ a(MXO ô(MX,) a(MXn)^^

Le coefficient M est connu sous le nom de multiplicateur de Jacobi. La condition (2) exprime, comme nous savons, que la forme ii peut s'exprimer au moyen de n intégrales premières indépendantes

[^1,72, ..., Jn

du système (i) et de leurs diflérentielles ; autrement dit qu'on a une identité

(») M[(Sxi - XioO ... (8a.„ X,M)] = U(yu ..-, Jn) [Sj.Sj^ ... Sjn].

Il nous est maintenant possible de retrouver les théorèmes classiques relatifs au multiplicateur de Jacobi.

• Théorème I. — Le quotient de deux multiplicateurs M et M' est une intégrale première. En effet les deux identités (3) relatives aux deux multiplicateurs M et M' donnent

Théorème II. — Si l'on connaît p intégrales premières indépendantes des