LA THÉORIE DU DERNIER MULTIPLICATEUR IO
équations (i), on peut déterminer un multiplicateur du système de n — p équations dijjérentielles auquel se ramène Vinlégration du système donnée
Supposons qu'on connaisse les p intégrales première» indépendantes
y,, jo Ypj et supposons, ce qui est toujours permis, que ce soient de»
fonctions indépendantes des p variables Xi, ..., Xp, c'est-à dire
Les équations (i) peuvent alors s'écrire
W t=o 'if = o.
et, en égalant j,, ..., ypa des constantes arbitraires Ci, .... Cp, l'intégration du système (i) se ramène à celle du système (5), dans les seconds membres duquel on a supposé remplacé Xi, ..., Xp par leurs valeurs en fonction de Xp^i, ..., x„, t, Cl, ..., Cp.
Cela posé la forme Q, qui est invariante pour les équations (4) et {5), peut évidemment s'écrire
Q = N[57, ... 8Yp (Sxp+i — Xp+,so ••• (s^n - ^V^O];
pour avoir la valeur du coefficient N, il suffit d'identifier cette expression avec l'expression primitive; en égalant par exemple les termes en
[Sxiôxa ... Sx„],
on obtient
D(x,, ..., Xp)
La quantité N étant ainsi déterminée, on a l'identité
N[«ri ... 8yp (3xp+i - X,+i8f) ... (8x„ - X„Sf)] = H [By, ... ô/,8jp+i ... 5j„], c'est-à-dire
[«7,o>5 ... dyp }N(aa-p+i - Xp+.ot) ... (Sr„ - X^ot) — HSjp+i •.• ^ïnl] = o. Cette identité exprime (n° 64) que, si on tient compte des relations linéaires
Sji=o, ôjj = o, ..., 8jp = o, on a (6) N[(Sxp^., — Xp+,lt) ... (8x„ — X„ô<)] = H(j,, ..., j„) [Sjp+, ... a/n].
Le premier membre de cette égalité est donc une forme invariante pour le sys" tème d'équations différentielles (5) : autrement dit le système (5) admet le multiplicateur
D(xi,...,xp)
ToÈOHÈME III. — Si l'on connaît n — i intégrales premières indépendantes des érjaalions (i), Vintégralion des équations s'achève par une quadrature.
I08 LEÇONS SUR LES I1NVAKL\MS INT'-iGRAUX
Il suffit d'appliquer le théorème II au cas /) = n — i : on voit alors que la forme différentielle linéaire
(8Xn — X„r:i)
est une différentielle exacte, quand on y suppose les variables liées par les relations
Jl = Ci, J2=C2. ..., J„l = C«,.
La solution générale des équations (i) s'obtient donc en égalant à une constante C„ l'intégrale de différentielle totale
