II. — Généralisations

109. Le théorème du dernier multiplicateur peut être généralisé au cas, beaucoup plus général, où l'on connaît une forme invariante Q de degré quelconque r <Ci n. Supposons qu'on connaisse n — i intégrales premières indépendantes ji, ..., j„i. Choisissons de toutes les manières possibles n — r de ces intégrales

Jct^^' ytx.^* ••■' y^n—r

et considérons les formes, évidemment invariantes,

toutes ces formes sont de degré n. Si elles ne sont pas toutes nulles, on est ramené au cas précédemment étudié ; on d un multiplicateur, on peut même en avoir plusieurs, et dans certains cas le théorème I peut donner, par division de deux de ces multiplicateurs, la dernière intégrale première.

Le cas d'exception est celui où toutes les formes précédemment écrites seraient nulles. Or imaginons û exprimé au moyen de ôji, ..., 'îj„i et de la différentielle d'une n'^^^e intégrale première (inconnue) ôj„. L'hypothèse faite revient à dire que Q ne contient pas oj„, car si Q contenait par exemple un terme non nul tel que

A[ôji ... ôj^iSj„],

le produit extérieur de Q par Sj^^,Sjr,2 ••• Sy„, ne serait pas nul.

Gela étant Q serait donc une forme extérieure en 8ji ôj„i, forme

extérieure dont on pourrait calculer les coefficients. Chacun de ces coefficients serait une intégrale première. Si l'un au moins de ces coefficients est indépendant de ji, ..., yn-i, on achève l'intégration en l'égalant à une constante arbitraire. Le seul cas douteux est celui où tous les coefficients seraient des