LA. THEORIE DU DERNIER MULTIPLICATEUR IO
fonctions de ji j„i ; or îl est clair que dans ce cas la connaissance de
la forme invariante Q ne peut être d'aucun secours pour achever l'intégration. Remarquons simplement que dans ce cas les équations données ne constituent pas le système caractéristique de Q.
Nous pouvons donc énoncer le théorème général suivant : La connaissance d'une forme différentielle invariante Q admettant pour système caractéristique le système d'équations différentielles données (i) permet, dans le cas le plus défavorable, d'achever par une quadrature l'intégration de ce système lorsqu'on en connaît déjà n — i intégrales premières indépendantes.
110. Une autre généralisation de la théorie du dernier multiplicateur de Jacobi est relative aux systèmes de PfalT complètement intégrables. Soit
un système complètement intégrable dont on connaît une forme invariante
Q — M[a)iW2 ... w,.].
La connaissance de r — i intégrales premières j,, ..., jr i du système permet d'achever l'intégration par une quadrature. En effet en égalant ji, .... yr-i à des constantes arbitraires, le système donné se ramène à une seule équation, w^ = o par exemple, et on a une formule telle que
Û = N[oji ... ôj,,ito,],
où le coefficient N se déduit de M par une identification facile. Il en résulte que iNo),, est une forme invariante pour l'équation unique 0^ = 0 qui reste à intégrer, autrement dit que No)^ est une différentielle exacte. L'intégration s'achève donc par une quadrature.
Enfin le théorème tout à fait général qui résume tous les cas envisagés est le suivant :
La connaissance d'une forme différentielle Q permet, dans le cas le plus défavorable, d'achever par une quadrature l'intégration du système caractéristique de cette forme lorsqu'on en connaît déjà r — i intégrales premières indépendantes, en désignant par r la classe de la forme.
III. — Cas où la variable indépendante n'est pas particularisée.
111. Si le système d'équations différentielles donné est mis sous la forme dxi dxi dx„
tout invariant intégral de degré n — i est de la forme
Q = MK^[dxidx3 ... dxn] — MX.[dxidx, ... dx„] + ... — (— i)"MX„[c/a:-i(/arj ...dx^S],
IlO LEÇONS SUR LES I>VARIA>TS OTEGRALX
el la condition Î2' := o devient
aÇMXQ ^ ô(MX,) ^ ^^^ ^ &(MX„) ^^
A part cette différence d'écriture, la théorie est identique à celle qui a été faite plus haut.
IV. — Cas où les équations données admettent une transformation infinitésimale.
112. Prenons le cas général d'un système complètement intégrable
(7) Wi = O, U)2 = o, ,.., co^ = o
admettant une forme invariante de degré r, qu'on peut toujours supposer ramenée à la forme
Q =r [(JÛ1W2 ... ^r\.
Supposons que ce système admette une transformation infinitésimale connue A/, et formons les quantités
COi(A), CO,(A), ...,0>,(A),
que nous supposerons non toutes nulles. On peut toujours supposer les équations du système écrites de manière à avoir
(8) cOi(A)=i, W2(A) = C03(A) = ... =a),(A) = 0,
û conservant la même forme.
Comme on l'a vu plus haut (n° 88), la connaissance de la transformation infinitésimale hj permet de déduire de la forme Q(o) une autre forme invariante 2(A, S), qui, avec les hypothèses faites ici, se réduit à
Nous désignerons par la lettre n cette nouvelle forme invariante. Nous avons
a = [coin].{
Le système associé (et non caractéristique) de H est
(9) 0)2 = 0, W3 r=: o, .... tO^ = o ;'
il est complètement intégrable. Cela résulte d'un théorème antérieur (n° 98), mais cela résulte aussi de ce que 0 étant exprimable au moyen de r intégrales premières ji. .... j^ du système donné et de leurs différentielles, le système associé de Q{^., S) ne contiendra, lui aussi, que yi, ..., yr et leurs différentielles ; ce sera par suite un système d'équations différentielles ordinaires, donc complètement intégrable.
