LE PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION D HAMILTON

et cela quel que soit le contour fermé (G) et quelle que soit Injonction p. On en déduit facilement que les coefficients de

dx, dy, dz, dx\ dy', dz', di

doivent être identiquement nuls. Par suite pour qu'un système d'équations

différentielles admette V invariant intégral I 105, il faut et il suffit que les équations

mdx'-] dt = o, mdx' dt=o,

dx I dx

j ' , ^E ,, I , , ôU ,,

may -\ af = o, 1 mdy at=o,

mdz' -[ dt:=o, I mdz' — ^ dt=o,

àz ] ôz '

(6)^ — mdx~i -,dt=:0, ou "^ — mdx -+-ma;'d^=ro,

ôE

— mdy-\ ,dt = o, j — mdy ~i-my'dt=o,

ôE

ÔE , I , ,, , ,, , ,J,v JTT ôU

mdz-\-~r-,di = 0, f — mdz -it-mz'dt=o,

dz '

— dE H — jdt — o, —m{x'dx'-hy'dy'-\-z'dz')-{-d\J — — dt=o

soient des conséquences des équations différentielles du système.

Les six premières dé ces équations ne sont autres que les équations différentielles classiques du mouvement; quand à la septième, elle donne le théorème des forces vives, qui en est une conséquence.

6. On voit d'après ce qui précède le rôle fondamental joué par le tenseur « quantité de mouvement-énergie ». Si Von admet qu'une trajectoire est définie comme une succession d'états constituant une solution d^un système d'équations différentielles ordinaires, ce système est, parmi tous les systèmes imaginables d'équations différentielles, caractérisé par la propriété d'admettre comme invariant intégral l'intégrale curviligne, étendue à un contour fermé quelconque d^états, du tenseur « quantité de mouvement-énergie ».

On obtient ainsi un principe nouveau qui pourrait être appelé principe de la conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie. Comme on l'a vu au numéro précédent, le théorème des forces vives est une conséquence particulière de ce principe.