LA THÉORIE DU DERNIER MULTIPLICATEUR III

Formons maintenant la dérivée extérieure H' de la forme n ; c'est une louvelle forme invariante de degré r, on a donc

n' = mû = w[a>in].

Le coefficient m est une intégrale première. Mais il y a une discussion à faire.

I* m = o. — n' est nul, et le système (9) associé de n est son système caractéristique. On connaît donc un multiplicateur du système (9) ; par suite quand on connaîtra r — 2 intégrales premières indépendantes de ce système, l'intégration s'achèvera par une quadrature. Une deuxième quadrature achèvera alors l'intégration du système donné (7) ; cette quadrature est manifestement / Wj.

Il est évident qu'ici n et Û sont réductibles à

n = [Hy/.y, . . . gj,] , e = [ôy.Syj . . . 5y,] ;

la transformation A/, appliquée aux intégrales premières du système donné, se réduit à

Il y a une infinité de manières de choisir les intégrales premières de manière que les données restent les mêmes, c'est-à-dire de manière que Û et A/ ne changent pas ; on peut effectuer sur y^, y^, ...,yr une transformation arbitraire de déterminant fonctionnel i, et ajouter à yi une fonction arbitraire de J2, ..., y^. Cela explique la nature des simplifications qui se présentent dans l'intégration.

2" m est une constante non nulle. — Dans ce cas supposons qu'on ait intégré le système (9) et soit ja, Js, •••. Jr un [système de r ^ 1 intégrales indépendantes. On aura

le coefficient H étant indépendant de jj, ..., jr> sans quoi n' serait nul, mais étant une intégrale première du système donné. On a donc une r'è™" intégrale du système donné par de simples différenliations. En écrivant jj à la place de H, nous avons

Û = ^[5jiSj2... Sj,]. n = y,[oy,...8y,], kf=my,~j~'

La transformation la plus générale en jj, ..., j^ qui conserve les données s'obtient en effectuant sur ja, ..., y^ une transformation arbitraire et posant

Cela explique pourquoi l'intégration du système (9) ne peut pas être simplifiée et aussi pourquoi, cette intégration étant effectuée, celle du système donné (7) s'en déduit.

112 LEÇONS SUR LES INVARFANTS INTEGRAUX

3° Le coefficient m n'est pas constant, mais k{m) est nul. — La fonction m est une intégrale première du système (9). L'intégration de ce système revient à celle d'un système d'équations différentielles à r — 2 fonctions inconnues; l'intégration du système donné s'en déduit comme dans le cas précédent.

La forme n est réductible à

II=j,[ôm5y3...Sj,] et on a

^ = ~, [Sji ôw3j3 . . . Sj,] , A/ = mji ^ . Les transformations qui conservent les données sont

im=m, j3 =fs{m, y„ ..., j,), .... jT =f,[m, y„ ..., 7,),

D(73, ...,J.) Elles expliquent les simplifications que présente l'intégration.

4° Le coefficient m n'est pas constant, et Am = mi ■^zf o. — Prenons tout de suite le cas général

Am = mi, Awi = mi, .... Ami i = m^,

en supposant que m, mj, ..., m,i sont i intégrales premières indépendantes du système donné, et que mi est une fonction de m, ..., m,i.

Le système donné admet alors i intégrales premières indépendantes connues et son intégration revient à celle d'un système (f équations différentielles à r — i fonctions inconnues dont on connaît un multiplicateur.'

Cherchons les formes réduites de Q et A/. On peut toujours poser Q = H[ômômi ... Smj iôji^j ... ôj^],

où 7,4.1, ..., yr sont r — i intégrales premières du système (9) et H une fonction de m, ..., mi i, jf+i, ..., jr- On a évidemment

A/= mi -^ + ma --^ + ... + mi — f— • -' dm ômj ôm,i

Exprimons que la dérivée extérieure de n = û(A, ô) est égale à mQ, ou,' ce qui revient au même,

A(Q) = mû.

On a

A(û) = (A(H) + g^ H) [5mBmt ... Smi iôy.+, ... By,];

on doit donc avoir

A(H) -+- ^^ H = mil.

Soit h{m, m^, .... mi i) une solution particulière de celte équation aux dérivées partielles ; cette dernière peut s'écrire

LA THÉORIE DU DERNIER MULTIPLICATEUR Il3

autrement dit -j- est une intégrale des équations (9). On peut alors choisir 7,4.1, ..., yr de manière à réduire cette fonction à l'unité. On aura donc Q = h(m, ..., m,.i) [SmSmi ... ôm,i8j.xi ... 5j,,],

•^ dm bmi àmi i

Les transformations qui conservent les données sont évidemment m = m, m, = mj, ..., m,i = mi i,

avec

D&.+i yr),

(On a désigné par f^i, ..., fx,i i — i fonctions indépendantes de m, mj, ... m,i satisfaisant à A|jl = o).

La nature des transformations précédentes explique les simplifications présentées par l'intégration.

11 peut du reste se faire que i = r; dans ce cas aucune intégration n'est à effectuer, puisqu'on a par différentiation r intégrales premières indépendantes.