V. — Applications

113- La théorie du dernier multiplicateur s'applique à tous les exemples précédemment indiqués où intervenait une forme invariante de degré égal au nombre des fonctions inconnues. Rappelons ces exemples :

1° Les équations qui donnent le mouvement des molécules d'un milieu continu quand on connaît la densité p et les composantes a, v, w de la vitesse en fonction de x, y, z, t :

dx dv dz

dt=''' dt=''' dt = ''-

L'invariant intégral étant

Û = pKBx — uôf) (ôj — v^t) {Bz — wBt)],

le multiplicateur est p. Si donc on connaît deux intégrales premières indépendantes, l'intégration s'achève par une quadrature. Si le mouvement est permanent, la forme invariante

n = û(A, S) = — pa[8j8z] — pu[8zSa;] — pw[8a;8;)']

a sa dérivée nulle. Les équations

dx dy dz ^

E. G*BTA!ii — Leçoas sur lei Invariants intégraux. 8

Il4 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTEGRAUX

qui donnent les trajectoires géométriques, admettent un multiplicateur p ; par suite si on connaît une intégrale première, la détermination des trajectoires n'exige qu'une quadrature, et une dernière quadrature donne /.

2° Les équations qui donnent les lignes de tourbillon d'un champ de vecteurs donné (X, Y, Z) sont les équations caractéristiques de la forme

[8X8:.] + [8YSy] + [SZS.] = (|- Ç^) [8;y8z] + (^ - |) [Szêx]

ces équations

dx dy dz

ôZ dY — ô^^ôZ — ôY ôX ày dz dz dx dx dy

admettent donc un multiplicateur connu, qui est l'unité.

3° Les équations de la Dynamique, sous leur forme canonique

dqi ôH dpi ôH

dt bpi dt dqi '

admettent le multiplicateur i : cela résulte d'un calcul direct ; cela résulte aussi de ce que l'existence de la forme invariante

entraîne celle de la forme invariante Q" :

114. Mais la théorie du dernier multiplicateur ne s'applique pas seulement aux systèmes matériels pour lesquels sont valables les équations canoniques d'Hamilton, mais à tout système à liaisons parfaites, holonomes, avec forces données ne dépendant que de la position du système.

Pour un tel système on a les équations de Lagrange

Si les Qi étaient nuis, l'introduction des variables canoniques d'Hamilton conduirait aux équations

dqi ôH dpi dE

dt dpi dt dqi '

Il en résulte que les équations complètes du mouvement sont susceptibles d'être mises sous la forme

dqi ôH dpi ôH

dt ôp, ' dl ~~ dqi

Qi.