LA THÉORIE DU DERMER MULTIPLICATEUR II

Elles admettent le multiplicateur i , autrement dit la forme invariante

qui, avec les variables de Lagrange, s'écrit

Si les liaisons sont indépendantes du temps^ ainsi que les forces données, les équations du mouvement admettent la transformation infinitésimale

et, par suite, la forme invariante II = û(A, 8), dont la dérivée est nulle. D'après la théorie générale, l'intégration des équations du mouvement est ramenée à celle des équations des trajectoires (géométriques)

(io, dq/ doi dpi

-i' = -n, — 21 — ou -n = ^ .

auxquelles s'applique la théorie du dernier multiplicateur, et à une quadrature donnant le temps : on a en effet manifestement, par exemple,

puisque û(A, 6) est égal an.

115. Comme exemple de forces dépendant du temps, mais avec une transformation infinitésimale connue, considérons le cas simple d'un point mobile sur une droite fixe et attiré par un point fixe de la droite suivant une force proportionnelle à la distance, le facteur de proportionnalité étant une fonction connue du temps. Le mouvement est donné par l'équation différentielle du second ordre

ou par 1

e système

dt=''^

dx'

L'équation du second ordre ne change pas si on change x en Xrr, X étant on facteur constant arbitraire ; par suite le système qui lui est équivalent admet la transformation infinitésimale dont l'effet est de changer respectivement

Il6 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

le symbole de celte transformation est

Af= X ^ -h X -^.

*' àX dX

Le système (lo) admet la forme invariante

Q = [(Sa; — x'8t) (Sx' + kx8t)] correspondant au multiplicateur i. Ici la forme dérivée û(A, 8) est

Ts = x{Bx' -+- kxBt) — x'[8x — x'^t) = x8x' — x'8x -+- (x'^ 4- kx^)U : c'est une forme invariante. Sa dérivée extérieure est

m' = 2[ôxôa;'] -h 2x'[àx'ùi] -4- 2kx[cixU] = 2Û.

Le coefficient de Q dans le second membre étant constant, nous savons (n" 1 12) qu'il suffit d'intégrer l'équation complètement intégrable m = o pour en déduire par des différentiations la solution générale du système donné : la forme w est en effet réductible à jiS)'2- Cette forme cj s'écrit, en changeant 6 en d.

On est donc conduit, en posant

à intégrer l'équation de Riccati

Supposons intégrée cette équation ; on a une intégrale première sous la forme

En identifiant ro à yidyz, on trouve, en prenant par exemple les termes en dx',

d'où

a8 — Bv

X = YiX -, — -, ÇJ-i 1

•^ {-^x' H- hxf

Si on suppose, ce qui est toujours permis, que le déterminant ao — j^y est égal à I (ou même simplement constant), la solution générale du système est fournie par les équations

ax' H- pa: = Cl ,

Yx' + Sx = Cî, et l'on a

Autrement dit les coefficients a(<) et y(0 <î^i se présentent dans l'intégrale