LA THEORIE DU DERNIER MULTIPLICATEUR II

générale de l'équation de Riccati constituent un système de solutions fondamentales de l'équation du second ordre donnée.

On peut encore présenter les choses autrement. Supposons qu'on connaisse la solution générale u de l'équation de Riccati exprimée au moyen de t et de la constante d'intégration y^. L'identité

y,dy, = x%du -h («2 ^ k)dt] donne

Ji

ày2

d'où l'on tire

X en

fonction de ji,

j2 et t. Gomme on a

on obtient

^Jl(« — Ï/O*'

d'où

= Cia -h C,Y.

116. Remarque. — La théorie du dernier multiplicateur de Jacobi s'applique à d'autres problèmes de Mécanique que ceux qui ont été indiqués plus haut. Prenons par exemple le mouvement d'un point matériel soumis à une force fonction de sa seule position dans l'espace, mais le système de référence étant entraîné par un mouvement de rotation uniforme autour de oz. Les équations du mouvement sont de la forme

d^x , dy ^ ^ d^y dx V

dï^ - Z = o,

X, Y, Z étant des fonctions données de x, y, z, t. En les écrivant

dx , dx' , V

^ = X, ^ = 2ay+X,

dz , dz' „

di — ^' Tt— '^•

on obtient un système qui admet manifestement le multiplicateur i .

117. La dernière application que nous envisagerons nous sera fournie par l'invariant intégral de l'Hydrodynamique

û = \[hy^ + ,i[8z8x] -f- C[8x67] -^ (rju; — Çv) [Sx8/] + (Çu — \w) \^yU]

H- (5v — TTiu) {mt\.

Il8 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

Le système caractéristi(jue de cet invariant est formé des deux équations de PfafT

dx — udt dy — vdt dz — wdt

Les variétés intégrales sont, dans l'univers {x, y, z, t), les variétés à deux dimensions engendrées par exemple par une ligne de tourbillon dans ses différentes positions successives.

L'intégration de ce système revient à celle d'un système de deux équations différentielles à deux fonctions inconnues dont on connaît un multiplicateur. La recherche des trajectoires des molécules (lignes fluides) exige en outre l'intégration d'une équation différentielle ordinaire qui peut être quelconque.

Si le mouvement est permanent, les variétés caractéristiques sont données par deux quadratures, à savoir

dx dy dz

puis, en tenant compte de l'équation précédente, supposée résolue par rapport à z,

" 'i<^a; — jdy __ „,

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