I. — Méthode générale d'intégration
118. Considérons une forme de Pfaffw et le système caractéristique de
l'invariant intégral relatif 1 w. C'est le système associé de la forme w'.
Supposons d'abord w à an + i variables ; la forme w' étant de rang pair (n" 59). son système caractéristique sera formé en général de an équations. Par suite il existe en général un système d'équations différentielles et un seul admettant un
invariant intégral relatif / w, lo étant une forme de Pfaff arbitraire à 2n H- i
variables. C'est le cas de l'invariant intégral de la Dynamique.
Soit d'une manière générale an le rang (ou la classe) de la forme w'. Il est facile d'indiquer une méthode d'intégration des équations caractéristiques de o)'.
Soit en effet ji une intégrale première de ces équations (elle est obtenue par une opération d'ordre an). SLon lie les variables par la relation jj = Cj, c'est-à-dire les différentielles par la relation dji = o, le rang de w' diminue, et comme il reste toujours pair, il se réduit à an — a. Soit y^ une intégrale première du nouveau système caractéristique ; en supposant
Ji = Cl, jj = Cî,
le rang de w' se réduit à an — 4. et ainsi de suite. On pourra donc, par des opérations successives d'ordres
an, an — a, ..., 4» 3,
trouver n intégrales premières
Jl. J2. ..., Jn
telles que, si on suppose les variables liées par les relations Ji = G,, yj = G2, ..., Jn = C„,
120 LEÇONS SUR LES IIN VARIANTS LMEGRAUI
le rang de w' devienne nul. A ce moment, to' étant identiquement nulle, la forme w est une différentielle exacte ; une quadrature la met donc sous la forme
La fonction S dépend des n constantes Cj, ..., C„. Si on ne suppose plus les variables liées par les n relations indiquées, on a évidemment
tû = dS -h Zidyi -+- zzdyz + ... -h Zndy^ et par suite
w' = [dzidyx] -\- [dz^dy^] -+-... + [dzjyn].
Comme w' est de rang an, les an différentielles dyi et dzi sont linéairement indépendantes; donc les 2n fonctions yi et Zi constituent un système d'intégrales premières indépendantes des équations données dont l'intégration est ainsi achevée.
En définitive l'intégration a exigé n -+- i opérations d'ordres
2n, an — a, ..., 4. 2, o
suivies de différentiations.
Remarque I. — La quantité S ne sert ici que d'intermédiaire ; ce n'est pas en général une intégrale première des équations caractéristiques de
l'invariant / w.
Remarque 11. — On voit d'après le résultat obtenu que toute forme quadratique extérieure de dérivée extérieure nulle peut se mettre sous la forme
[dzidyi] -h [dz^dyi] + ... -h [dz„dj„].
119. Il importe de se rendre compte de l'indétermination du choix de» fonctions yi et Zi qui entrent dans la forme canonique. L'égalité
[dzi'dy,'] + [dzz'dy^'] + ... + [dz^'dyn'] = [dz^dy^] -h ... -h [dzjy,,]
entraîne la propriété de la différence
^i'dyi' + Zi'dyi' H- ... --h Zn'dy„' — (zidyi 4- z^dyz + ... -f- zjy„)
d'être une différentielle exacte dV. Supposons, ce qui est le cas général, que Ji'j •••» Jn' soient des fonctions indépendantes de zi, ..., z„; alors il n'y a aucune relation entre les yi et les y/. En .exprimant V en fonction des j; et des jt', on en déduit
'' àyr '' àyi'
Ces équations, où intervient une fonction arbitraire de an arguments, permettent d'exprimer les y' et les z' en fonction des y et des z ; les n dernières donnent en effet j/, ..., j„' et les n premières donnent ensuite Zi', ..., z„'. Cela suppose que l'on n'a pas
Uji' ôj2 àyj ^^
^{yi\y2, ...,yn)
ÉQUATIONS A UN i:iVARIA!fT INTÉGRAL LINEAIRE RELATIF 121
Sous la même condition on peut tirer les y en fonction des y' et des z' au moyen des n premières équations et obtenir ensuite les z au moyen des n dernières équations.
On traiterait de même le cas où entre les y et les y' il existe une ou plusieurs relations.
L'ensemble des transformations ainsi définies sur les variables y et z, c'està-dire sur les courbes intégrales des équations données, définit un groupe infini qui joue dans cette théorie le même rôle que le groupe des transformations de déterminant fonctionnel égal à i dans la théorie du multiplicateur de Jacobi.
120 Revenons à l'intégration des équations caractéristiques de w'. Supposons que, par un procédé quelconque, nous soyons arrivés à connaître N>>n intégrales premières indépendantes yi,y2, •... Jn telles qu'en les égalant à des constantes arbitraires, le rang de w' devienne nul, c'est-à-dire w devienne une différentielle exacte. Une quadrature suivie de différentiations nous donne alors
o) = rfS H- Zidyi -+■ îjdja -+-...-!- Zndy^,
Il est facile de voir que z^, Zj, .... z» sont des intégrales premières.
Supposons en effet que parmi les fonctions j, et Zj il y en ait N + r indépendantes ; on peut alors exprimer les fonctions Zj en fonction des jj et de r d'entre elles, que nous appellerons ti, t^, ..., <,. Cela posé on a
lo' XΠ[dzjdji] -f- [dzzdy2] -[-... + [dz^dyv].
Le système caractéristique de lo' comprend par hypothèse les équations
dyi = o, dy2 = o, ..., dyt, = O.
Il comprend aussi l'équation
ôw' , ÔZi j ÔZj I , ôZn j
-rT-ï -^ — dzi H dyi -\ rfvs -+- ... H dyt, = o,
d[dyi] dyt -^'^ dyi '^^ ôj,- •'"
donc l'équation
dzi = o.
On voit par là que les z, sont des intégrales premières, et d'autre part N 4-r doit être égal à an.
Finalement la connaissance de N intégrales premières rendant w différentielle exacte quand on les égale à des constantes arbitraires, permet d'achever l'intégration par une quadrature et des différentiations.
121. Dans la pratique il peut arriver qu'on cherche non pas toutes les solutions des équations différentielles données, mais seulement celles pour lesquelles les N intégrales premières yi, ..., j» ^ont des valeurs numériques données. On peut alors procéder de la manière suivante. La forme w', étant nulle quand on annule dyi, .... dys, peut, d'une infinité de manières, être mise sous la forme
122 LEÇONS SUR LES OVAWANTS INTEGRAUX
les Wi étant des formes linéaires convenablement choisies. Parmi ces N formes ra, il y en a an — N indépendantes entre elles et indépendantes des dj, ; supposons qu'il en soit ainsi de tui, ..., tt^jk^n. Le système caraclcristique de u>' est manifestement formé des équations
dji = dy^ = ... = dyu = o, TH, = Wj = ... = ro2„N = o.
Exprimons que la dérivée extérieure de w' est nulle : nous obtenons [rfjiro/] -I- [djaV] -+-... + [(^Jn^t/] = O, d'où en particulier, en multipliant exiérieurement par [dj 2(^73 ••• dyt,], [dyidy^ ... dy^wi'] = 0.
La forme thi (et aussi les formes ^2, ..., ^jn-s) sont donc des différentielles exactes quand on donne aux yi des valeurs numériques fixes. Par suite les solutions cherchées s ohliewienl par an — N quadratures indépendantes
I ^1 =yi, ••., I ra2n-N = T-in-N.
11 n'y a pas lieu de s'étonner de rencontrer ici 2/1 — N quadratures alors que la recherche de la solution générale n'exigeait qu'une quadrature. En effet, effectuer les a/i — N quadratures indiquées ci-dessus, c'est effectuer la quadrature unique
^i^2 H- ... -h X2„arjT2n— N = C^'
avec 2« — N paramètres arbitraires Xi, ..., Xj,j ii.
Le procédé d'intégration précédent n'utilise que la forme invariante w' et ne fait pas intervenir la forme w. Ce qui joue un rôle essentiel, c'est doncla
connaissance de l'invariant intégral absolu du second degré j w', et la propriété de la forme w' d'être une dérivée exacte. La forme co (ou les formes w) dont m' est la dérivée ne joue qu'un rôle accessoire.
n. — Les parenthèses de Poisson et l'identité de Jacobi.
122. Soit 2/1 le rang de la dérivée extérieure w', et soient/ et g deux intégrales premières de son système caractéristique. Les deux formes différentielles
[où'"-'dfdg] et [co'"]
«ont invariantes de degré maximum 2n ; elles ne diffèrent donc que par un facteur, et ce facteur est une intégrale première. Nous poserons
