ÉQUATIONS A UN INVARIANT INTÉGRAL LINÉAIRE RELATIF
OU
La quantité (fg) ainsi définie porte le nom de parenthèse de Poisson : c'est une forme bilinéaire alternée des dérivées partielles de /et g.
La parenthèse de deux intégrales premières est encore une intégrale première.
Ce théorème, dû à Poisson dans le cas particulier des équations canoniques, a eu son importance mise en évidence par Jacobi.
Avant de passer aux applications de ce théorème, nous pourrons faire quelques remarques.
La condition (fg) =: o exprime que le rang de w' est égal à an — 4 • o^i dit dans ce cas que les intégrales/ et g sont en involution.
Si cette condition n'est pas remplie, la formule de définition de (fg) exprime que la forme
' TM
est de rang 2n — 2 ; la puissance «''''"« de cette forme est en effet
Remarquons encore que si on a réduit w' à sa forme normale
co' = [wicoo] +■ [loawj -f- .:. H- [coj„iW2„], et si on pose
(^f = fi^l +/2W2 + ... H-/!nW2„,
^9 = gi^l H- 9i^î + ... -t- ^2uW2<M
on a
if 9) =fi92 ~f-9i ^1^9'* — /t5'3 + ••• +fln-i9in —fln9in-i'
Remarquons enfin, d'après ce qui a été vu plus haut (n° 118), qu'on peut toujours supposer les Wi des différentielles exactes. Un calcul facile donne alors l'identité suivante, due à Jacobi,
qui s'applique à trois intégrales premières quelconques/, g, h.
Mais la vérification peut se faire aussi sans rien supposer sur les formes linéaires wi, w,, ..., wo,,. Elle repose sur l'identité
(0 ^^~^ [-"'-\if9)dh + (gh)df + (hf)dg)] = ^^^^ [^'n-HJdgdh]
qui n'est autre que l'identité (8) démontrée au n*» 68. En la dérivant extérieurement et remarquant que la dérivée extérieure du second membre est nulle, on obtient
[u>'»-'d(/^)dA] + [^'-^d{9h)dj] + [u>'--^d{hj)dg] = o,
qui n'est autre que l'identité de Jacobi.
134 LEÇONS SUR LES 1NVARIA.NTS INTÉGRAUX
123. La méthode d'intégration indiquée au début du Chapitre peut être énoncée en utilisant les parenthèses de Poisson. Soit
l'équation qui exprime que /est une intégrale première. On cherche d'abord une solution particulière ji de cette équation ; on cherche ensuite une solution particulière jj du système
y = o, (ji/) = o,
puis une solution particulière jj du système
X/ = o, (ji/) = o, (yij ) = o
et ainsi de suite jusqu'à une solution particulière j„ du système
X/- o. iyj) = o. (j,/) = o, ..., (j„ J) = o.
Dans le cas des équations canoniques de la Dynamique
dqi ôH^ dpi ôH
dt dpi dt ô^î '
correspondant à la forme invariante
l'équation aux dérivées partielles des intégrales premières des équations données est
àt jiLà\dqi dp- ^Pi àqij
Quant à la parenthèse de Poisson (fg) de deux intégrales premières, elle est déGnie par l'égalité
n[i^'--^8f5g] = {fg) [o)'»] ;
égalons dans les deux membres les termes en
[SpiSçjS/Ja ... Sp„8ç„] ; nous obtenons
L'équation aux dérivées partielles des intégrales premières peut alors s'écrire, en étendant la définition de la parenthèse (fg) à deux fonctions quelconques des g,, pi et t,
ni. — utilisation d'intégrales, premières connues.
124. Nous allons maintenant reprendre le problème de l'intégration des équations caractéristiques de la forme diJDTérentielle w' en supposant connues
