ÉQUATIONS A UN INVARIANT INTÉGRAL LINÉAIRE RELATIF
un certain nombre (quelconque) d'intégrales premières Ji, ^2, ..-, J;*- En égalant ces inlégrîiles à des constantes arbitraires Cj, C2, ..., Cp, la forme w' a son rang réduit d'un certain nombre pair 2p' < 2p d'unités. Il suffit alors d'intégrer les équations caractéristiques de cette nouvelle forme, ou plutôt d'en chercher n — p' intégrales premières en involution-: on est alors ramené au problème du n" 120-
La méthode précédente ne tire pas en général tout le parti possible des intégrales connues. En effet, d'après le théorème dePoisson-Jacobi, les parenthèses des p intégrales données prises deux à deux sont elles mêmes des intégrales premières des équations à intégrer. On formera donc les parenthèses (j'ij/i, puis, si elles fournissent des intégrales nouvelles, les parenthèses de ces intégrales entre elles et avec les intégrales données, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'opération ne donne rien de nouveau. Cela revient à dire qu'on peut toujours, par des différeniialions préalables, supposer que les parenthèses (yyj;) sont des fonctions des intégrales premières Ji, 72, •••, Jp-
Pour savoir maintenant de combien d'unités se réduit le rang de w' quand on suppose les variables liées par les relations
71 = Cl, J2 = C2, .... Jp = Cp,
il suffit d'appliquer le théorème du n° 69 à la forme quadratique extérieure w* construite avec les variables 8xi, ..., Srr2n+i liées par les relations
ôji = o, Sj2 = o, ..., ôjp = o.
Les coefficients a^ du n" 69 sont ici les parenthèses (jiyj) et la forme quadratique * est ici
le nombre d'anités dont se réduit le rang de to' est égal au nombre maximum ap diminué du rang de la forme «ï».
125. On peut se rendre compte de la manière suivante du fait que tout le parti possible a bien été tiré des intégrales premières données.
Effectuons sur les p variables $1, ..., ?p une substitution linéaire (à coefficients fonctions de ji, ..., jp) de manière à ramener <i> à sa forme normale
Cela revient à remplacer les formes linéaires Sji, ..., Byp par de nouvelles formes différentielles
linéaires en ôjj, .... 5jp avec des coefficients fonctions de ji, ..., ypQt telles que l'on ait identiquement
?l5ji -+- ?2Sj2 -+- ... + ipOyp = f^TOj -+- ^TO2 H- ... H- Tp^p.
La forme quadratique extérieure to' prendra alors la forme
W' = [toi^ï] 4- ... + [^iq-.i^2q] "+- [^ag + jW,] + ... -h [vJp(àp^] ■
■+- [W;i-2g + lWp 2ç+2] -f- ...-+- [(àin-p-\<»in-p]*
en introduisant an — p formes linéaires nouvelles wj, ..., W2„,,. Désignons par n la forme
n = [rniTOa] 4- ... H- [nJ2,-i^2,] et exprimons que la dérivée extérieure de w' est nulle. Si nous négligeons tous les termes qui contiennent l'une des formes linéaires
nous obtenons
(2) n' -H [Kj^iun] + ... H- [nî;,a)p 2j =^ o.
Comme la forme n est construite avec les seules fonctions jj et leurs différentielles, il en est de même de II' ; par suite aucune réduction de termes semblables ne peut se faire entre les différentes parties du premier membre de (2). 11 en résulte en particulier que chacune des formes
est nulle (en supposant nulles les formes Trj.,,4,1, ..., th^) ; par suite le système dePfaff
est complèlemenl intégrable. Nous désignerons par
un système d'intégrales premières de ces équations. On a de plus
n'=.o, toujours en regardant les formes ^2,4.1, ..., Wp comme nulles; autrement dit, si on suppose y^q+i) --m Jp constantes, la forme n est dérivée exacte, et par suite (n» 118) réductible à
II = [dy, djj] + ... 4- [dy,,, dy,,]. Finalement on voit facilement qu'on peut mettre w' sous la forme
(3) 10' = [dy^ djj -h ... 4- [dj2î-i dy.,] 4- [dy^q+i ^1] 4- ...
