dypWp-Zq] 4- [Wp 2,4-lWp
Cela revient au fond au théorème suivant : On peut trouver p fonctions
Jl, J2, •••, Jp
des p intégrales premières données satisfaisant aux conditions.
6'lj2)=... = (729-lj2,) = I,
toutes les autres parenthèses ij^j) étant nulles.
ÊQUATIO:VS A UN INVARIANT INTÉGRAL I^ÏNÉAIRE RELATIF lîj
126. Outre l'intérêt intrinsèque que présente ce théorème, sa forme met en évidence le fait énoncé ci-dessus que la méthode d'intégration indiquée a tiré tout le parti possible des intégrales données. La forme (3) trouvée pour w' permet en effet d'écrire
M — dS H- jjrfjj -t- •.. -1- yiq-idyi^-hWidy2q+i -H ...
H- iVp 2qdyp + Vidui + ... -h fN-p + qf^Wri-p+î' > w' = [dyidy.;\ H- ... -f- [dy .q i dy^^] -h [dwydy^^^.^] -f- ...
H- [dwp^^dyp] + [dv^dui] + ... -h [£/u„p4., du„p+,].
Le groupe des transformations les plus générales sur les courbes intégrales qui conservent les données, c'est-à-dire qui laissent invariantes w', yi, .... yp, est défini par les équations suivantes, où les lettres accentuées indiquent les variables transformées, et où V désigne une fonction arbitraire des arguments n,-, «,', 72,^+1, .... jp :
y'i = ïi ii=i, 2, ...,p),
Vi =~-7, ...,Vn-,+q —
ÔU n-p+p
îôV ôV
ivi wj -j- ^ , ..., IV p—Zq wp— 'Jg ^^ -
Tout procédé univoque qui, en partant de w' et de p intégrales premières Ji yp, permettrait de déduire une autre intégrale première par des opérations ayant une signification indépendante du choix des variables, conduirait nécessairement à une intégrale première invariante par le groupe de transformations le plus général conservant w', jj, ..., yp', or les seules fonctions invariantes par ce groupe sont évidemment les fonctions arbitraires de
ji yp-
•IV. — Généralisation du théorème de Poisson-Jacobi.
127. Le théorème de Poisson-Jacobi se généralise immédiatement si, au lieu de deux intégrales premières, on connaît deux formes linéaires invariantes x^^ et TD2 : la quantité oc définie par l'égalité
(4) n[io'"~%iTïij] = a[[w'"]
est évidemment une intégrale première ; elle se réduit à (ji/s) si tdi et ct; sont les différentielles de deux intégrales premières ji, y 2.
Appliquons cette remarque au cas où, les équations caractérisques de ta'' admettant deux transformations infinitésimales A,/ et Aj/, on aurait
Toi = w'(Ai, 0), Wi = a)'(A2, S).
Pour calculer dans ce cas la quantité a, appliquons aux deux membres de l'égalité (4) l'opération qui fait passer d'une forme invariante û(S) à la forme C(Aj, 8). On obtient
n[n — l) \yi''^~^TTS{asiTSi^ — n[a)'"~'nTi]TiiJ2(Ai) = ncr[io''*~%i],
d'où, comme la forme [w'»-'©,] n'est certainement pas nulle,
a = — raj(Âi) = w'(Ai, Aj) = nJ,(Aj).
Le théorème généralisé de Poisson- Jacobi, appliqué aux deux formes invariantes u)'(Ai, S) et co'(Aj, S), conduit donc à l'intégrale première io'(Ai, kz) fournie par r application deux fois répétée à lo' de l'opération correspondant aux transformations infinitésimales k^f et Aj/.
