II. — Cas général

7. Tout ce qui précède peut s'étendre aux systèmes matériels, tels qu'on les considère d'habitude en Mécanique analytique. Nous supposerons que ces systèmes satisfont à trois conditions.

8 LEÇONS SUR LES INVARIAîCTS INTÉGRAUX

1" Les liaisons auxquelles ils sont soumis sont parfaites, c'est-à-dire qu'à chaque instant t la somme des travaux élémentaires des forces de liaison est nulle pour tout déplacement virtuel compatible avec les liaisons telles qu'elles existent à cet instant t. Dans ces conditions le principe de d'Alembert est valable et s'énonce ainsi :

Principe de d'Alembert. — Si on considère le mouvement, sous l'action de forces données, d'un système matériel soumis à des liaisons parfaites, à chaque instant la somme des travaux élémentaires des forces données et des forces d'inertie est nulle pour tout déplacement virtuel du système compatible avec les liaisons, telles qu elles existent à cet instant t.

Le principe de d'Alembert se traduit par la formule

(') l[{^ - '" tf)'^ + (ï - ". |f)^ + (^ - ". 10 H = °'

où X, Y, Z désignent les composantes de la force donnée appliquée au point [x, y, z) de masse m et où 8ic, Sj, 8z désignent les composantes du déplacement élémentaire le plus général compatible avec les liaisons.

Nous ne considérerons maintenant, parmi tous les sysièmes à liaisons parfaites, que ceux dont les liaisons sont holonomes, c'est-à-dire :

2° l\ous supposerons que les liaisons peuvent se traduire par des équations finies entre les coordonnées des points du système et le temps t. Cela revient encore à dire qu'il est possible d'exprimer les coordonnées des différents points du système par des formules telles que

^i = fi{qi, '-'^qn, t).

yi = 9i[qi, -, qn, t), (i== i, a, ...)

^i = Hqi, ■■', qn> 0>

avec n paramètres arbitraires q. A chaque système de valeurs des g et de i correspond une position et une seule du système compatible avec les liaisons qui existent à l'instant t. Tout déplacement virtuel compatible avec les liaisons qui existent à l'instant t s'obtient en donnant à 7,, .... ^^ des accroissements arbitraires Bq^, ..., oq^.

Nous ferons enfin une dernière hypothèse :

3° La somme des travaux élémentaires des forces données, pour un déplacement virtuel quelconque compatible avec les liaisons qui existent à V instant t, est la différentielle totale d'une certaine fonction U des q et de t, c'est-à-dire

V(xsx + ys^ + Zêz) = 5l^6„ + ...4-?îie,.,:

on n'a pas fait figurer dans le second membre le terme -~- ot parce que les

déplacements virtuels dont il est question dans le principe de d'Alembert supposent que t reste constant.