II. Dans le second cas on peut poser

10' r= [wWi] + [0)30)3] -h ... -h [ohn-i^in-l]

avec an formes linéairement indépendantes co, wj, ..., <x>jn~i- Les équations-

qui s'obtiennent en écrivant, en outre de l'équation lo = o, les équations du système associé de la forme o)', où on suppose les différentielles liées par la relation o) = o, ont une signification intrinsèque. C'est le système associé des deux formes o) et [wo)'] et par suite (n" 103) c^esl le système caractéristique de l'équation de Pfaff o) = o. Nous l'appellerons le système (S), en désignant par (S) le sytème caractéristique de o), lequel contient en plus l'équation 0)1 = o.

On peut, par une opération d'ordre an — i, obtenir une intégrale première ji du système (2). En l'égalant à une constante arbitraire, le système (S) de la nouvelle forme w, c'est-à-dire le système caractéristique de la nouvelle équation o) = o, a le nombre de ses équations réduit de deux unités ; on pourra donc par des opérations d'ordres

trouver de nouvelles intégrales

J2, '•■,yn-l

telles qu'en les égalant à de nouvelles constantes arbitraires, le nouveau système (S) correspondant à o) ne contienne plus qu'une équation, qui sera évidemment o) = o. Cela veut dire que cette équation est complètement intégrable et une nouvelle opération d'ordre i donne une nouvelle intégrale y„ qui permet d'écrire

O) = Zidyi -h Zarfjj -i- ... + z„dj„.

On arrive ainsi à la forme réduite de o), qui fait effectivement intervenir le nombre minimum 2n de variables, an étant le nombre des équations du système (S) caractéristique de o), c'est-à-dire la classe de o).

On trouve sans difficulté la transformation la plus générale effectuée sur les variables caractéristiques yi et z, qui conserve la forme u) ; l'égalité

zi'dy^' + ... + Zn'dy,,' = Zidyi -+-... 4- z„dj„

■ÏÏY-W--

• - ôV - ôV

ôji' ôj,'

^yn ày,

, dV„

ÉQUATIO:«S A UN INVARlAîST I:XTÉCRAL LINÉAIRE ABSOLU l3l

donne, en restant dans le cas le plus général,

Vfj/, ...,J'u'. Jl, •••, J«) = o, '

— ~ ^" — iL'

Ces formules montrent bien que les variables j,, ...jjn» —,..., —sont

Zi Zi

transformées entre elles ; ce sont les variables en nombre minimum au moyen desquelles peut s'écrire l'équation w = o ; ce sont les intégrales premières du système (S) caractéristique de celte équation. S'il existait p relations indépendantes

Vi = o, ¥2 = 0, .... V, zr=0

entre les jj et les j/, les formules qui définissent la transformation seraient

avec p inconnues auxiliaires Xj,

129. On remarquera, au point de vue de l'intégration, la différence entre les deux cas où le système caractéristique de co est impair (an -h 1) ou pair (2n) : dans le premier cas l'intégration exige des opérations d'ordres

2n, in — 2, ..., 2, o ;

dans le second cas elle exige des opérations d'ordres

an — 1, an — 3, .... i.

On remarquera aussi que les deux cas se distinguent pratiquement l'un de l'autre de la manière suivante. Soit an le rang de co', c'est-à-dire soit n le plus grand exposant tel que la forme [w'"] ne soit pas nulle ; dans le premier cas [wco'"] n'est pas nul ; dans le second cas [ww'"] est nul.