III. — Généralisation des formules de Poisson -Jacobi
130. I. Supposons que la forme 10 soit du premier type. — Soit/ une intégrale première quelconque de son système caractéristique; la forme [w'^d/] est invariante et d'ordre maximum an + 1. On peut donc poser
où l/l est une quantité finie linéaire par rapport aui dérivées partielles du premier ordre de la fonction/. Cette quantité \f\ est, ou une constante, ou une intégrale première des équations caractéristiques de w.
iSa LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX
Soient maintenant deux intégrales premières / et gf des équations caractéristiques de co. On peut définir une quantité (fg) par la relation
n[toa)'"-'c(/a^] = (fg) [ww'»] ;
cette quantité {fg) est encore une constante ou une intégrale première. Si la forme w a été réduite :
du-hzidyi + ... + z„dy„
îf.
f àZ,- Vôji 'àuj àZi\dyi "■' OU
De là on peut déduire sans difficulté les identités importantes
(U9)i') + {(g/^V) + ((V)j) = (/s) ! A I + (s*) \fi -<-(¥) \9\-
131. Pour démontrer directement ces identités, remarquons que la forme df — }/}w est une combinaison linéaire des 2n formes linéaires indépendantes au moyen desquelles peut s'exprimer w', puisqu'on a
On en déduii immédiatement une identité de la forme
n[u,'-^(d/ -\f\^){dg-\g\ ,0)] = X[co'n] et la multiplication extérieure par w donne X = (fg)- On a donc
(1) n[a,"-* dfdg] - n\f\ [coco'-'ds,] ^ n\g\ [cou,'-V/] = (fg) [(.'«].
L'identité (8) du n" 68, appliquée aux trois formes linéaires df — \f\ w, dg — [ g \ oif dh — j /i { w, donne alors
\fg)[o."^-\dh-{ /i j a,)] + {gh) K«-«(rf/~ \f\ 0.)] +(V) [u>"^-^{dg-\ g \ co)]
= {n-i)[.>'n-.fdf-\f\^)(dg-\g\^){dh-\h\.^)], d'où on déduit, par multiplication par w,
(2) [o.u>'-'-^{(fg)dh + {gh)df + (hf)dg)] = (n - i) [u^^'-'^dfdgdh]. Cela posé la dérivation extérieure de l'identité (i) donne
n[toco"-«d|/j dg] + n[o,o/--^dfd\g \]=[u>'nd{fg)], c'est-à-dire la première identité à démontrer :
{U\9)-^U\9\) = \(M- La dérivation extérieure de l'identité (2) donne ensuite
[o>'-{{fg)dh + {gh)df+ {hf)dg)] - [^i^'--'d(fg)dh] - [^uy'n-id{gh)df] — [iOio'r'-id{hf)dg] = in—î) [i^'n-idfdg dh] ;
ÉQUATIONS A UN INVARIANT INTÉGRAL LINÉAIRE ABSOLU l33
mais d'autre part la multiplication extérieure de (i) par dh donne n[ia''^-'dfdgdh] — n \f\ [uio>'''-'dg dh] -hn\g\ [coto'" -'(//cf/ij = (fg) [i^'"dh] ; on déduit de cette dernière formule
n\..'n-idfdgdh]=[\f\{gh) -^ \g\(hf) ^ \h\ {fg)] [coo)'»] et de la précédente l'identité à démontrer
132- Supposons maintenant que la forme to soit du second type. — On définira de même, étant données deux intégrales premières / et gf des équations caractéristiques de w, les quantités }/| et (fg) par les formules
n[a>co'"-'d/]=|/JK'].
n[u>"^-^dfdg]=(fg)[^'"].
Si w est la forme réduite
w = Zidyi -4- z^dyz + ... + zjyn,
on a
On
vérifie alors sans difficulté les formules
S(/9)j=(/») + (l/S9) + (/|ji);
(A) {(f9)h)-^{(gh)f)+{{hf)g)=o,
dont la seconde n'est autre que l'identité de Jacobi, puisque/, g, h sont des intégrales premières des équations caractéristiques de co'.
Pour démontrer directement la première identité appliquons l'identité (8) du n° 68 aux trois formes linéaires w, df, dg ; les relations
n[o^'--^o>df] = \f\[u>'nl n[u>'n-idfdg] ^ (/5)[a>'n].
n[o>'"-'dgoj]= — \g\[i^% conduisent à l'identité
h'"~K \fU9 H- if9)^ -\9\df)] ={n- i)K«-W/rf3] qui, dérivée extérieurement, donne
[^'"-'dlfldg] + [u.">-^dfd\9\ ] -h (^)K"] - H'n-id(/3)]
= (n-i)[o>'n~^dfdg];
en remplaçant chaque terme par sa valeur et simplifiant, on obtient l'identité à démontrer.
l34 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX
ni. — Utilisation d'intégrales premières connues.
133. Supposons que la forme w soil du premier type et que nous connaissions p intégrales premières indépendantes j,, ..., jj, de ses équations caractéristiques. Nous formerons les quantités | j, |, (jo'j) ; si elles introduisent des intégrales nouvelles, nous les ajouterons à celles qui sont données et nous recommencerons l'opération jusqu'à ce qu'elle ne donne plus aucune intégrale nouvelle. Nous pouvons donc supposer ce premier résultat obtenu, c'est-àdire que les quantités | jj | = a,, [y-iji) = aij sont des fonctions de jj, ..., jp.
Si nous introduisons maintenant des variables auxiliaires $i, ..., Çp, nous obtenons deux formes, l'une linéaire
l'autre quadratique extérieure
la première indique la valeur de la quantité | / j lorsque / est une fonction arbitraire de ji, ..., jp admettant pour dérivées partielles ^j, .... Ç^ ; la seconde, ou plutôt la forme bilinéaire alternée qui lui correspond
indique la valeur de la parenthèse (fg).
Cela posé nous allons, par une substitution linéaire convenable sur les variables ii, réduire les deux formes précédentes.
Trois cas sont possibles ; la forme * étant réduite à
on peut avoir
Une substitution linéaire à coefficients fonctions des j;, efiectuée sur les oj,, donnera/) formes difTérenlielles nji, ..., Wp satisfaisant à l'identité
?i'^i -h ?2'cJî + ... -h ^p'cjp ==z ^jûji + ^gSj! -!-... + ^pOJ,- Cela posé dans le cas a), toutes les formes
sont nulles, sauf
On en déduit facilement
<0' = [nSiXJSi] -h ... 4- [x!Siq iWzq] -}- [1^23+1^1] "h • • •
-H Kwp jj] 4- K-25+i wp-sç+î] -h ...
ÉQUATIO?<S A UN INVARIANT INTÉGRAL LINÉAIRE ABSOLU l35
En égalant les j; à des constantes arbitraires, la forme w reste du premier type et le rang de w' est réduit de 2/) — aq unités. Le cas est identique à celui qui a été étudié dans le Chapitre précédent, les intégrales premières données étant des intégrales du système caractéristique de w'.
Dans le cas b), on a
[w'"(nTj — 10)] = [^'"inîj = ... = [w'"cjp] = 0, et ta' est réductible à la forme 0/ = [(^1 — 01)^2] H- [CT3Î04] H- ... -h [tnsj-iTOîg]
-f- l^Zq+itùi] -{- ... + [cTpWp ïg] + [oJp-25-l-l tOp 2,+î] H- ...
En égalant les j^ à des constantes arbitraires, la forme w reste encore du premier type et le rang de w' est réduit de 2p — 29 unités.
Dans le cas c), on a
[u)'"Wi] = ... = [0)'"ra2,] =:= [w'»(r!Jjç4 i —Oi)] = ... = [w'"T5p] = O ;
la forme w' est réductible à
W' =: [cTjCJ,] -t- ... + [r^2q-l^iq] "+- [(^Sç+l ^)^l] + •••
-h [WpWp jç] + [it>p 2q+l'^p-iq+i] + ...
En égalant les j, à des constantes arbitraires, la forme w devient du second type, le rang de w' est réduit de ap — 2q — 2 unités; le système caractéristique de la nouvelle équation w = o est formé de 2« — 2p -\- aq -h i équations. Dans ce cas l'intégration exige des opérations d'ordres
an — 2p + ag H- i, ..., 3, i,
tandis que, dans les cas a) et b), elle exige des opérations d'ordres
En résumé la forme w reste du premier type si le produit extérieur [<p*] est nul, et devient du second type dans le cas contraire.
134. Supposons maintenant que la forme m soit du second type. — JNous avons encore ici deux formes
«p = a,^i H- ... -ha/çp,
Les coefficients a,y étant donnés par les équations
n [w'"- ' dyidvj] = a.^fw'"] ,
le rang de w' est réduit de 2p — ag unités lorsqu'on égale les intégrales y, à les constantes arbitraires, si 2q est le rang de la forme «ï>. La forme * étant réduite à sa forme normale
* = [^iV] + ...H-[^Vi^'2î].
l36 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTEGRAUX
on peut supposer qu'on a en même temps, pour 9, l'une des trois formes suivantes :
Le cas a), d'après l'identité (3), exige que toutes les parenthèses (j,j;) soient nulles, c'est-à-dire que la forme * soit identiquement nulle. On a donc g = o. Dans ce cas on a évidemment
w' = [wwi] -h [toiW;] + ... h- [TnpW,,^i] -f- [iàp-\.2 ^p+s] H- •••
La forme w reste du second type, le nombre n étant diminué de p unités.
Dans le cas b), on a
et w' est réductible à la forme
to' = [tîTiW,] -h ... + [^25-1 ^29] -+- [(w + ^2)^1]
4- [to2, + iWj] + ... + [T^pOyj,-tq+l] -4- [Wp 29-f S Wp 2, + 3] + ••.
En égalant les j^ à des constantes arbitraires, la forme i» reste du second type, le rang de o^' étant diminué de 2/) — 2g unités.
Dans le cas c), w' est réductible à la forme
w' = [toiTOs] 4- ... -h [r^iq-iTjy^g] 4- [wtos^+i] + [^29+2^1] -+-...
En égalant les jj à des constantes arbitraires, la forme w devient du premier type, le rang de co' étant diminué de 2p — 29 unités.
En résumé la forme w' reste du second type si le produit [9*] est nul, et devient du premier type dans le cas contraire.
135. Nous avons en résumé obtenu quatre problèmes réduits essentiellement distincts, en faisant abstraction des deux cas a) dont l'un a été traité dans le Chapitre précédent et l'autre correspond à la connaissance de p intégrales premières en involution du système caractéristique de l'équation w = o.
On peut examiner d'un peu plus près les quatre problèmes réduits et se demander si tout le parti possible a été tiré des intégrales premières connues. La méthode pour répondre à cette question est la même que celle qui a été employée dans le Chapitre précédent ; elle repose sur la réduction de w à une forme canonique faisant intervenir p fonctions convenablement choisies de Ji> •••' Jp 6t d'autres intégrales premières indépendantes. Cette forme canonique étant obtenue, on en déduit les équations du plus grand groupe de transformations qui, effectuées sur les courbes intégrales, conservent les données.
Nous allons indiquer rapidement les formes canoniques de w et w' dans chacun des quatre cas, les calculs pour y arriver se faisant de la même manière qu'au Chapitre précédent (n° 125).
ÉQUATIONS A UN INVARIANT INTÉéGRAL LINÉAIRE ABSOLU 10 J
1" La forme w est du premier type et les formes tp e/ 4» sont réductibles à
cp = $/, * = [;.v] + ... + [r,,-,Jv].
On a dans ce cas
lù' = [(ro, — to)TOj] -h [rD-iW.,] H- ... -4- [cTa,,-! t7t,J
En posant
n = [toiCTî] -+-...-+- [cÎ25 inTjg],
la dérivation extérieure de w' donne, si on néglige les termes en
l'identité
n' — [nra,] -}- [wras'] -4- [ro's,.,., Wi] + ... + [rap'wp îj = O. On peut alors poser
cj, = -i^-, CT, ^^1 = clj2,+i, ..., ^p = dy^ ; la dérivée extérieure de la forme — II étant nulle, on peut ensuite poser
n =y^.i[dhdy^] + ••• + [d}2q-id},,]).
On a finalement
+ [dj2î+lWi] + ... + [dypi>ip-2q] 4- ...
Le résultat peut être mis sous une forme plus intuitive, en posant
a> = ^ W — Jld/2 — ... —yiq-ldyiq.
On obtient en effet
0>'=[(iy2î+lWi]-h...+[c?JpWp-29]-f-[Wp 27+lWp 2,+2]-t-..--|-[<»5n-p-lW2rt-p]-
Sous cette forme on voit avec évidence que tout le parti possible a été tiré des intégrales connues.
On a en outre obtenu les relations canoniques
\yi\ = ^' iyi\ = o (i = 2, ...,p);
(J1J2) = (J3J4) = ... ={yiq-iy2q) = J2»
toutes les autres parenthèses étant nulles.
a° La forme w est du premier type et les formes ç c< * sont réductibles à
l38 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX
On a dans ce cas
W' = [TO1TD2] -+-... + [cJ2g,W2ç] -h [(nJ2ç+, — œ)cOi] 4- ... -i- [T!IpU)y 2,] H- [Wp 294.l Wp 254.j] + . . .
La dérivation extérieure du second membre montre facilement qu'on peut poser
^27+2 = dy^q+z, ..., TOp = dyp,
^iq + l= <^j2î+l + jWj2 + ••■ -hyiq-ldyzq,
U = [d},dy,] + [dy.dyf] + ...-+- [dj2,-iciyîj. En posant
W = — W + dy^q^i H- Jirf/2 4- ••• + J2ç-Wj25,
on obtient
tO- = [wWiJ -h [cijag+îW,] + ... H- [djpWp 2,] -+- [wp 2,+ lWp 2ç+2]4-...,
formule mettant en évidence lé fait que tout le parti possible a été tiré des intégrales données.
On a en outre obtenu les relations canoniques
S72,hJ = i.
. (jl72î + l) = — Jl, iy-cj^q+i) = —y3, ..., {y%q-iytq+i) = —729-1'
toutes les autres quantités \yi\, (jijy) ét»nt nulles.
3* La forme co est du second type et les formes tp ei <ï> sont réductibles à
o = u', 'ï> = [^iV]-^... + [r2,-ir2,].
On a dans ce cas
Oj'=[nTiTO2] 4-. . .+[ra25 iroîç]H-[(cO-hnJ2)tOi]-f-[TOj5 + lC02] -h. . . -l-[TOpWp 2g+l]-h. . .
Posons encore
n = [nJiTOî] + ...-+- [^25-1^25] et dérivons extérieurement co' en négligeant les termes en
tO -h TO2, ^2g+l> ■.., ^p) t«^;j-2î4-2. •■.
Nous obtenons
n' -h [nwj + [tos'wi] h- [^'25^10)2] -h ... -h [nTp'wp 2î-! 1] = o. Cette identité permet de poser
^2ç+i = clj29+i, ..., ^p = c?jj,;
on voit ensuite qu'en regardant 72?+]» •••, 7p comme des constantes, tuj' est égal à — n de rang 2ç, l'équation tuj = o faisant partie du système associé de rsi'. On peut donc supposer
ÉQUATIONS A UN INVARIANT IISTÉGRAL LINÉAIRE ABSOLU iSq
En posant enfin
10 = (0 4- ^2 = O) — jWjî — ... — Jiq-idjiq,
on obtient
w' = [tooii] + [dy ig+iOii] 4- ... ■+- ldypWp ig^i'] + ...
On voit que tout le parti possible a été tiré des intégrales connues et on arrive en outre aux relations canoniques
(W) = IjsjJ = ... = (j25-ljî,) = 1,
loutes les autres quantités |j, j, [yiyj ) étant nulles. 4° La forme to est da second type et les formes (f et <P sont réductibles à
Cp = $'25+1, * = [^,12'] + ... + [k'H-iViç]-
On a dans ce cas
to' = [t3inTj]+...-t-[nJïç iTOîg]4-[cOTIT23-fl] + [w2g4.îWi]-i-...-i-[cTpU>p î5 i]-f-...
En conservant la même signification que plus haut à la lettre n, on a, en négligeant les termes en
l'identité
ir+ [ncjîç+i] — [wGj'2g+i]+[rn'îj+ja)i] + ... + [V^p-aî-O = °- Les dérivées extérieures TO'2gfi,cj'j,^j, ..., ra^' sont nulles avec nj2,-|i, ...jTOj,; on peut donc poser
^îg+l = -i-^3±} ^ cj2,+2 = cfj2î+2. •••, ^p = djf J2,+ 1
La dérivée extérieure de la forme j2p+in est alors nulle quand on regarde j2q+2, "-, yp comme des constantes. On peut donc poser
Jîs+iH = [dyidy.J -+-... -H [dy ig idy ^q]. Finalement, en posant
W = J29 + 1W — Ji(^Jj ... J2ç idjj5,
on obtient
W' =[t^/2g+2tOl] -h ... 4- [tij'pWp 2g,] H- ...
On voit avec évidence que tout le parti possible a été tiré des intégrales connues. On a en outre obtenu les relations canoniques
(ji/î) = (jsyi) = ••• = (j2,lj2î) = Jj. + l,
toutes les autres quantités iyA, {y^yj) étant nulles.
