I. — Méthode générale d'intégration
136. Nous avons déjà rencontré (n° 104) le système caractéristique d'une iquation de Pfaff
(i) oj ^ Uidxi -+■ ùzdxi ■+-...-+- ardxr = o ;
il est formé par les équations
dco'
Oi
tti
ÔO)
<i{dXr)
ttr
dont les r — i dernières fournissent le système associé de la forme quadratique extérieure w', quand on y suppose les variables liées par la relation ut = o.
Ce système caractéristique a également été rencontré au Chapitre précédent (n" 128) à propos d'une expression de Pfaff w du second type.
Le nombre des équations indépendantes du système caractéristique (2) est toujours impair ; on peut en effet, en tenant compte de la relation w = o, mettre w' sous la forme
O)' = [crtiCûa] -f- ... + [w2n-i*^2n] (mod. w),
en désignant par wj, coj, ..., W2„ des formes différentielles linéaires indépendantes entre elles et indépendantes de w. Le système caractéristique de l'équation ( i ) est alors défini par les équations
w = tOj = toj == ... = a)j„ = O.
L'entier n est, comme on voit, le plus grand entier tel que la forme [wo/"] ne soit pas nulle. La classe de l'équation ui = o est égale au degré de cette forme.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET ÉQUATION DE PFAFF INVARIANTE l/Jl
137. Il est facile de retrouver une forme canonique pour l'équation (i). Soit en effet 71 une intégrale première quelconque du système caractéristique (2) ; si l'on égale ji à une constante arbitraire Ci et dyi à zéro, le rang du système caractéristique de la nouvelle équation (i) est réduit au moinS d'une unité, et, comme ce rang est impair, il se réduit au moins de deux unités. Soit y, une intégrale première du nouveau système caractéristique. En posant
Ji = Cl, j2 — C2 ; dyi — o, dy2 = 0,
le rang du système caractéristique de l'équation donnée est réduit d'au moins quatre unités et ainsi de suite. Finalement au bout de /i -4- i opérations au plus, l'équation a) = o sera identiquement vérifiée ; autrement dit cette équation est de la forme
Zidyi H- z^dy^ 4- ... + Zqdy^ -+- dy^+i = 0 (q < n).
L'entier q est du reste égal à n, sinon l'équation (i) pourrait s'écrire au moyen de moins de an + i variables.
Donc si le système caractéristique de Véqixalion (i) est de rang an -4- i, cette équation est réductible à la forme
dyn+i -H zidyi H- Zidy^ +...-}- z^dy» = o, et les quantités
Jl» •'•) Jn+t ', 2^1. ••., ^n
conslitaenl un système d'intégrales premières indépendantes des équations caractéristiques.
On voit que par cette méthode la réduction de F équation (i) à sa forme canonique, et par suite Vintégration de son système caractéristique, exigent n + .1 opérations successives d'ordres
an +1, an — i, ..., 3, 1, et des différentiations.
138. On peut remarquer, comme au Chapitre XII (n° 120). que la connaissance de N >> n 4- i intégrales premières
telles que l'équation (1) soit identiquement vérifiée en égalant ces intégrales à des constantes arbitraires, permet d'achever par des différentiations l'intégration des équations caractéristiques. L'équation (i) peut en effet se mettre, d'une manière et d'une seule, sous la forme
djN -h zidyi -+- z^dyi + ... -H z^-idy^-i = O,
et on démontre que les coefficients Zi, ..., zv-i sont encore des intégrales premières des équations caractéristiques.
i^'2 LEÇo:<s sua les invariants intégraux
Plus généralement on peut se proposer de voir à quoi se léduit l'intégration du système caractéristique quand on connaît un certain nombre r d'intégrales premières indépendantes de ce système.
139- Intégrales premières en involuiion. — Nous dirons que deux intégrales promières/et g du système caractéristique de l'équation (i) sont en involuiion si l'on a
(3) [on)}'"'--^dfdg] =■ o ;
cette définition est évidemment indépendante du choix des variables et aussi indépendante du facteur arbitraire par lequel on peut multiplier le premier membre de l'équation (i).
La propriété de deux intégrales premières d'être en involuiion entraîne la conséquence importante que le rang du système caractéristique se réduit de quatre unités quand on suppose les variables liées par les deux relations
où G et C sont deux constantes arbitraires. La condition (3) exprime en effet que, si on suppose df = dg = o ainsi que w = o, le rang de o/ est inférieur à an — 2 et par suite égal à an — ■ Zj.
