II. — Utilisation d'intégrales connues

140. Cas où on connaît p intégrales premières y i, ..., y p indépendantes en involution deux à deux. — Dans ce cas il résulte des développements du Chapitre VI (n" 67) que le rang de w', quand on y suppose les différentielles liées par les relations

w = o, dyi ==o, ..., dyp =z o,

est réduit à an — ap. Le système caractéristique de l'équation (i), où on suppose les variables liées par les relations

Ji=G,, j2=G„ ..., jp = Cp,

est donc de rang an — ap -i- i, et son intégration exige des opérations d'ordres

an — ap -h i, an — ap — i, ..., 3, i

suivies de différentiations.

Le cas qui vient d'être examiné est celui où le rang du système caractéristique est réduit d'emblée du nombre maximum ap d'unités.

141 . Cas où les intégrales premières données ne sont pas toutes en involution deux à deux. — Ici la réduction du rang du système caractéristique, quand on y égale les intégrales premières données à des constantes arbitraires, n'atteint pas sa limite supérieure ap. En revanche on peut déterminer un m-

ÉQUATIONS Dlt'FÉHENTiELLES ET ÉQUATION DE Pl'AFF INVARIANTE l/j3

variant intégral absolu linéaire pour les équations caractéristiques, ce qui, dans certains cas, peut produire une réduction du problème de l'intégration bien plus grande que dans le premier cas, en apparence le plus- favorable.

Supposons en effet que ji et y^ soient deux intégrales premières non en involution des équations caractéristiques; on aura

n[unû'"~'dyidy2] = A[a)a)'»],

le coefficient A n'étant pas nul. Il existe une infinité de fonctions (inconnues) m telles que

TTJ = mco

soit une forme invariante, c'est-à-dire puisse s'exprimer au moyen des intégrales premières des équations caractéristiques et de leurs différentielles. On a pour une telle forme

to' = moi' -h [dmco] et par suite

[oîro'"-'ofj,f/j2] =■ m"[coto'"-'c//if/j'j}. [rara'"] =m"+'[ww'»].

On a donc, par comparaison,

n[T^v,'"-'dy,dy,]^-[v,rn"*].

Les deux formes entre crochets sont évidemment invariantes ; par suite —

est une intégrale première ; donc

est une forme invariante. C'est le résultat auquel nous voulions parvenir :

Si l'on connaît deux intégrales premières ji, jj telles que la fonction A définie par l'égalité

n[txiui''*~^dyidyi] = A[wto'"]

ne soit pas nulle, la forme linéaire Aw est une J or me invariante absolue.

Remarquons en outre que les variables en nombre minimum au moyen desquelles peut s'eïprimer la forme Aw sont évidemment les an -f- i intégrales premières des équations caractéristiques données ; le système caractéristique de la forme Aw est donc confondu avec celui de l'équation (i) et par suite de rang impair. La forme Aw est du premier type.

142. On peut rattacher le théorème précédent à une méthode d'intégration susceptible d'une grande généralisation et consistant à intégrer les équations caractéristiques de la forme uw, où u est une variable auxi/iaiVe. Il est évident en effet qu'à toute solution de ces équations correspondra une solution des équations caractéristiques de l'équation w = o, à savoir celle qu'on obtiendra en éliminant la variable auxiliaire u entre les relations qui définissent la solution.

l44 LEÇONS SUR LES IMVARIANTS INTÉGRAUX

La forme uw est évidemment du second type et la méthode générale d'intégration de ses équations caractéristiques exposée au n* 128 est identique à celle qui a été rappelée au n" 137 pour les équations caractéristiques de l'équation w = o. Il n'y a donc, si l'on ne sait rien a priori sur les intégrales, aucun avantage à substituer la considération de la forme um à celle de l'équation (0 = 0. Mais l'avantage devient évident si l'on connaît a priori des intégrales premières des équations caractéristiques, car on peut appliquer à l'intégration des équations caractéristiques de la forme «w la méthode d'utilisation exposée au n" 134. En particulier, si l'on connaît deux intégrales premières ji et y^ des équations caractéristiques de l'équation w = o, on a

[ ji S = o. \yi\ = o,

et le calcul de la parenthèse (jijs) définie (n° 132) par

(n + i)[(uw)'»djidjj] = (7,72)^"»+', donne, en développant et égalant les termes qui contiennent du,

où A est la quantité définie au numéro précédent. On pourrait continuer

l'application de la méthode générale en conservant la variable auxiliaire u,

(A) formant la quantité ) -( , les parenthèses de cette quantité avec ji et js, et ainsi

de suite. On peut aussi remarquer que - étant une intégrale première des

équations caractéristiques de la forme uw, la forme Aw est elle-même invariante.

m. — Application aux équations aux dérivées partielles du premier ordre.

143. Le problème de l'intégration des équations caractéristiques d'une équation de Pfafï trouve une application immédiate dans la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre. En effet intégrer une équation

■ni / dZ dZ dZ \

t (z, Xi, a?,, .... Xn-, — -, — . ...» — - ) =0 OU, en employant une notation classique,

(4) F(z, Xi, Xi, .... Xn-, Pi, P2, ..., Pn) — O,

c'est déterminer (n H- 1) fonctions z, pi, p^, .... p„ de Xi, x^, ..., Xn satisfaisant à l'équation (4) et à l'équation de Pfaff

(5) tù^dz — pidxi — pidx2 — ... — Pnd^n = o.

Or si l'on imagine que l'un des in -H i arguments z, x,-. jd,- a été tiré de l'équation (4) en fonction des in autres, l'équation de Pfafî (5) ne contient plus que 2n variables et son système caractéristique est' nécessairement de rang impair an — i. Par suite, en tenant compte de l'équation (4). l'équation de Pfaff (5) est réductible à la forme canonique

(6) dz - i\d\, - :.. - p„..,c/x„, = G,

oùZ, Xi, ..,,X„t, Pj, ..., P„i sont 2/1 — ! fonctions indépendantes : ce sont les intégrales premières des équations caractéristiques de l'équation (5).

Cela posé supposons qu'on sache ramener l'équation (5) à la forme canonique (6]. Comme l'intégration de l'équation (4) revient au fonda déterminer entre z, x^, ..., x,j, /jj, .,., p„ un nombre de relations indépendantes égal à n 4- i (dont la relation donnée (4)) telles que l'équation (5) en résulte, il sulBra, pour arriver à ce résultat, d'établir entre Z, X,, ..., P„i un nombre de relations indépendantes égal à n et entraînant avec elles l'équation (6). Or cela est possible d'une manière générale en prenant

J désignant une fonction arbitraire de ses arguments. Plus généralement on établira entre Z, Xj, ..., X„i un nombre quelconque h <^ n à% relations indépendantes

*i(Z, Xi X„i) ^ G, *2 = 0, ..., */, = G, -

et on y joindra les relations obtenues en éliminant les paramètres homogènes Aj, .... X/j entre les n — i équations