IV. — La méthode de Cauchy

145. La méthode qui vient d'être exposée revient au fond à l'intégration des équations caractéristiques et à la réduction de l'équation (5) à sa forme canonique (6), cette réduction résultant du reste de l'intégration, si celle-ci est dirigée d'une manière convenable (n° 137). H est facile de voir que, quel que soit le procédé employé pour intégrer les équations caractéristiques, la réduction de l'équation (5) à sa forme normale est toujours possible, une fois 1 intégration des équations caractéristiques effectuée. Il suffit en effet de déterminer les intégrales premières qui, pour une valeur numérique donnée a;° de a:„, se réduisent respectivement à

Z, Xi, .... Xn-i, Pi, ...,Pn'

Si on désigne par

Z, Al, ..., X„i, Pi, ..., r,j

ces intégrales premières, nécessairement liées par la relation

F(Z, Xi. ...,X„i,4;Pi, ..., P„):=o,

la relation (5), qui peut, comme on le sait, s'exprimer au moyen des intégrales premières, se réduira manifestement à

dZ — PidXi — ... — Pn i dX„i = O.

C'est là le principe de la méthode de Cauchy.