V. — La méthode de Lagrange

146. La méthode de V intégrale complète de Lagrange se rattache facilement aussi au point de vue précédent. L'équation

(8) V(z, xi, ..., x„; ai. ..., a„) = o

définit une intégrale complète si elle définit une fonction de z satisfaisant à l'équation (4) quelles que soient les n constantes arhilTmTes ai, ..., a„. L'équation (4) est du reste la seule à laquelle satisfassent toutes les fonctions z définies par (8); car l'élimination de ai, ..., a^ entre l'équation (8) elles équations

ôV dV

-+- Pi — = o,

dXi ^ ÔZ

dV ôV

dXn ^ àZ

qui s'en déduisent ne conduit en général (et c'est ce que nous supposons) qu'à une seule relation qui est naturellement l'équation (4).

L'équation (4) étant le résultat de l'élimination de aj, ..., cr„ entre les (n -+- i) équations (8) et (9), intégrer l'équation (4) revient à satisfaire à l'équation de P!atT (5), supposée à 3a + i variables z, Xj, pi, ai liées par les (n -+- 1) relations (8) et (9). Or en tenant compte de ces relation», on a

ôV , ôV . dV , o = — az -\ dxi -h ... H doi -f- ...

02 àXi ôOi

ôV , , , j \ ?>V j ôV j

= -~ [dz — pidxi — ... —p„dxn) -h ^- rfoi -^- ... + r- ««n-

L'équation de Pfaff (5) est donc équivalente à l'équation

' — doi + ' — dai -h ... H- ' — da„ = G dOi ôfls ôa„

mais cette dernière est réduite d'elle-même à »a forme normale en posant

Xi = a,, .... X„i = a„i. Z = a„,