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ôa„ dOrt

On voit que les caractéristiques sont définies par les équations V = o,

c'est un résultat classique.

147. Appliquons le théorème du n" 141 au cas particulier d'une équation à deux variables indépendantes

(lo) F{x,y, z,p, q} = o.

La connaissance de deux intégrales premières indépendantes u et u des équations caractéristiques conduit, quand elles ne sont pas en involution, à la détermination d'un invariant intégral linéaire pour les équations caractéristiques. Cet invariant intégral est Aw, où A est défini par l'égalité

[(jôdudv] = A [coco'],

ou plutôt, comme on suppose ici les variables liées par la relation (lo),

[dFwdadv] = A[JFcoco'].

Prenons en particulier dans les deux membres les termes en [dxdzdpdq], nous trouvons

Si donc le déterminant du second membre nest pas nul, Vexpression A(dz — pdx — qdy) est une forme invariante pour les équations des caractéristiques. *

VI. — Equations aux dérivées partielles du premier ordre admettant une transformation infinitésimale.

bF ôF

ôF bp

ôF bq

bU , ^ ÔU

bx ^ bZ

bV bV