Si l'équation aux dérivées partielles du premier ordre
(li) F{z,Xi,...,Xn,pi,...,Pn)=0
admet une transformation infinitésimale A/ portant sur les variables z, Xi, ...^ Pn, cela signifie que tout système de n -h i relations entre ces 2n + i variables qui définit une multiplicité intégrale est changé par la transformation en un autre système de n + i relations définissant encore une multipHcité intégrale. Par suite, en tenant compte de l'équation (Zi), l'équation de Pfaff
(5) 0) ^ dz — pidxi — ... — p,idx„ = o
admet la transformation infinitésimale A/. Il en résulte immédiatement (n° 97) que la forme linéaire
Co(o) 8z PlOXi
PîOg'2
Pn'-^Xn
co(A) A(z) — piA(a;i) — p2A(a;2) — ... — PnA(x„) est invariante pour le système d'équations différentielles des caractéristiques.
La connaissance dune transforniaiion injlniiésiinale entraîne donc la connaissance dun invariant intégral linéaire pour les équations des caractéristiques et par suite l'intégration de l'équation donnée, qui était un problème du second type exigeant des opérations d'ordres
an -f- 1, an — i, ..., 3, i,
est ramenée à un problème du premier type exigeant des opérations d'ordres
an, an — a, .... a, o.
149. Un exemple classique est celui où Téquation donnée (i) ne dépend pas explicitement de z : il est évident alors que de toute solution de l'équation on en déduit une autre en ajoutant à z une constante arbitraire ; autrement dit l'équation donnée admet la transformation infinitésimale
L'invariant intégral absolu qu'admettent les équations des caractéristiques est alors
Pl^Xi — ... — PnOX„
La méthode d'intégration des équations de cette nature résulte de la théorie du Chapitre XII. Les équations caractéristiques de u>' sont ici
dxt dxn — dpi — dp„ .
dF '*' "" ôF dF ■" àF '
^p^ dpn àXi ôa"„
une fois déterminées n — i intégrales premières en involution deux à deux, l'intégration des équations caractéristiques de w se ramène à une quadrature, l'expression w devenant une différentielle exacte quand on égale les n — i intégrales premières à des constantes arbitraires.
