VII. — La première méthode de Jacobi

150. La première méthode de Jacobi pour l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre se rattache aux considérations précédentes. Jacobi ramène l'e'quation (4), supposée quelconque, à une équation où ne figure plus la fonction inconnue, à savoir

Xn,

dXi

dX„

ôV

Z,Xi,...,Xn,— ^^ — ^ 1=0.

En posant pour abréger

l5o LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

les équations caractéristiques à intégrer sont celles de la forme invariante absolue

SV — u{oz — piOXi — ... — p„0Xn),

dont les 2n + 3 variables sont liées par la relation (4) ; elles admettent l'invariant intégral relatif

(il) 1 «(SZ — PlOXi - ... — p„8Xn).

et ce sont d'abord les équations caractéristiques de cet invariant intégral qu'on intègre d'après les méthodes du Chapitre XII.

La méthode de Jacobi est à rapprocher de celle qui a été indiquée au n" 142, avec cette différence que cette dernière utilise l'intégrale (ii) comme invariant intégral absolu, la méthode de Jacobi l'utilisant comme invariant intégral relatif. Du reste la méthode de Jacobi conduit à des opérations d'ordre»

3Al -+- 2, 2fl, ..., 2, O,

au lieu de

Son avantage est qu'elle permet d'utiliser la connaissance d'intégrales premières données en appliquant le théorème de Poisson-Jacobi. Mais cet avantage est conservé par la méthode du n" 142 qui tire tout le parti possible d'intégrales premières données. ^

VIII. — Réduction de certaines équations différentielles à une équation aux dérivées partielles du premier ordre,

151. On peut maintenant se placer à un point de vue inverse de celui des numéros précédents.

Considérons d'abord une équation de Pfaff à un nombre pair 2S de variables, mais supposons que s -+- i seulement des coefficients soient différents de zéro :

o) ^ atdxi -+- a^dx^ H- ... -f agj^idx.^j^i = o.

Les équations caractéristiques de celte équation de Pfaff sont évidemment les mêmes que celles de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre à s variables indépendantes Xi, x^, ..., Xg obtenue en posant

Xsj^i ^^ z, a^ -h pia,}i = o, ..., a^ + pA+i = o,

et en éliminant a:,+i, x^+i, .... x^^ entre ces s H- i équations. Il faut supposer bien entendu que l'élimination est possible et donne une seule relation.

152. Considérons en second lieu un système d'équations différentielles admettant un invariant intégral linéaire relatif I œ, la forme w étant à as -H i

EQUATIOJ^S DIFFÉRENTIELLES ET ÉQUATION DE PFAFF INVARIANTE IJI

"variables, et [w'«] étant différent de zéro. Les équations différentielles considérées sont les équations caractéristiques de to'. Leur intégration peut être ramenée à celle d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre ne contenant pas explicitement la fonction inconnue si les coefficients de s des différentielles sont nuls dans w :

u) ^ Oidxi -+- Qzdxi -4- ... H- a,+ic/x,,.j. Considérons en effet l'équation de Pfaff

d\ — u) ^ cIV — a^dxi — a^dx^ — ... — as-\-\dxt^i = o, et posons

Pi = o.i< Ps = «2, ..., ps+i = «s+lî l'élimination de x, + 2< •••, ^^s+i entre ces s -h i équations conduit à une relation

(12) F{xt, ..., x,^i; Pu ,... ps+i) = 0,

qui n'est autre que l'équation aux dérivées partielles annoncée. Les équations différentielles des caractéristiques de cette équation sont formées des équations des caractéristiques de w', auxquelles on adjoint l'équation

dV — io = o.

On se rend compte facilement que la méthode d'intégration, indiquée au Chapitre XII, des équations caractéristiques de to' conduit aux mêmes opérations que la recherche des caractéristiques de l'équation aux dérivées partielles (i a).

Si l'invariant 1 w est celui des équations de la Dynamique :

l'équation (12) n'est autre que celle de Jacobi

dV „/, ôV à\\

153. La méthode de Jacobi pour l'intégration des équations de la Dynamique repose donc au fond sur l'identité de deux problèmes d'intégration,

celui du système caractéristique d'un invariant intégral linéaire relatif / w,

et celui des équations caractéristiques d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre admettant une transformation infinitésimale {par exemple ne contenant pas explicitement la fonction inconnue). La nature du problème est déterminée dans les deux cas par l'existence d'un invariant intégral J O).

Cette méthode de réduction à une équation aux dérivées partielles ne réussit que si la forme w à as -h i variables admet s coefficients nuls, mais il ne faudrait pas croire pour cela que, dans le cas où cette particularité ne se

102 LEÇONS SUR LES INVARIANTS LNTÉGRAUX

présente pas, l'intégration des équations caractéristiques de lo' soit un problème plus compliqué que la recherche des caractéristiques d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre ne contenant pas explicitement la fonction inconnue, ou, ce qui revient au même, l'intégration d'un "système d'équations différentielles canoniques. Au fond limporlance des équations canoniques tient uniquement à leur propriété d'admettre un invariant intégral 1 m et non

pas à leur forme simple : c'est l'existence de l'invariant intégral qui est la propriété fondamentale d'où toutes les autres dérivent.

IX. — Remarques sur la nature des principales applications pratiques de la méthode de Jacobi.

154. — En fait la plupart des applications fécondes qu'a eues en Dynamique la méthode de Jacobi ont leur origine dans des simplifications que présente la recherche d'une intégrale complète de l'équation aux dérivées partielles de Jacobi, obtenue comme somme de fonctions dans chacune desquelles ne figure qu'une partie des variables Çj, ..., g„ autres que t. Mais ces simplifications peuvent être mises en évidence indépendamment de tout recours à la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre et de l'intégrale complète.

Soit en effet u> une forme différentielle linéaire à 2s -4- i variables que nous désignerons par

X^, ..., Xzs, l.

Supposons que w puisse se décomposer en une somme de p termes

O) = Wj + 0)2 + ... H- to^„

la forme co; étant construite avec un certain nombre 2/1, des variables x et la variable t, de manière que les variables x qui entrent dans la formation de deux quelconques des formes wi, ..., w^ soient différentes. On aura par suite

s = hi -h hz -{- ... -h hp.

Si l'on suppose la forme quadratique extérieure w' de rang 2s, il est nécessaire que les formes wi', 102', ..., Wp' soient respectivement de rang a/ij, a/ij, ..., a/ip. La réduction de chacune de ces/j formes à sa forme canonique entraîne alors la même réduction pour w'. Par suite l'intégration des équations caractéristiques de to' revient aux intégrations des équations caractéristiques de Cl)/, 0)2', ..,, Wp', et les p problèmes correspondants peuvent être résolus indépendamment les uns des autres.

Une simplification encore plus grande se produit si les nombres ki des variables x (différentes pour les différentes formes Wj) qui entrent en même temps que t dans la constitution de ces formes, n'étaient pas tous pairs. Dans ce cas-là, la variable t serait une intégrale première des équations caractéris-

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET ÉQUATION DE PFAFF INVARIANTE l53

tiques de co' : en donnant en etîetà t une valeur constante arbitraire, le rang de la forme quadratique w/ serait réduit

pour ki pair à /c; au plus, pour ki impair à A\ — i au plus ;

or 2s est égal à la somme de tous les ki ; le rang de w' serait donc, pour t constant, inférieur à as, ce qu'il fallait démontrer. On voit de plus qu'il ne peut y avoirquec/eua: des nombres /c, qui soient impairs et la réduction de w' à sa forme normale, quand on y fait t constant, est fournie par les réductions à leurs formes normales de w/, ..., w^', quand on y fait également t constant.