CHAPITRE XV

LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES QUI ADMETTENT PLUSIEURS INVARIANTS INTÉGRAUX LINÉAIRES.

I. — Cas où on connaît autant d'invariants intégraux qu'il y a de fonctions inconnues.

155. Nous n'aborderons pas dans ces Leçons le problème général de l'intégration d'équations différentielles admettant un nombre quelconque d'invariants intégraux. Bornons-nous au cas particulièrement simple où un système de n équations différentielles ordinaires du premier ordre à n fonctions inconnues admet n formes linéaires invariantes (indépendantes)

Wi, «2, ..., W„,

c'est-à-dire n invariants intégraux absolus linéaires

Dans ce cas particulier les équations différentielles données peuvent s'écrire

(1) lOj == Wj = ... =: (!)„ = O.

Les formes quadratiques extérieureswi',wj', ..., w/ étant invariantes, peuvent s'exprimer au moyen de toi, ..., w^ par des formules telles que

(2) w/= 2^ Ci^,[iùiUi,,] (s = 1, 2, .... n).

Les coefficients c,vtj sont manifestement des intégrales premières des équations différentielles données. Nous allons voir qu'on peut toujours se ramener au cas où ce sont des constantes.

Supposons en effet que parmi les intégrales Ci^, il y en ait un certaia nombre r indépendantes, que nous désignerons par

ÉQUATIONS A PLUSIEURS INVARI^ANTS INTÉGaAUX LINÉAIRES l55

les Cih, sont donc des lonctions déterminées de ces r intégrales. Chaque diflérenliellc dji est à son tour une l'orme invariante qui peut s'exprimer linéairement au moyen de cuj, ..., w„ :

dyi= f>ii(Oi -+- fe.jw, -h ... -t- 6,„w„ {i= I. 2, .... r).

Les coefficients 6/^ sont à leur tour des intégrales premières; si parmi celles-ci, il y en a r' indépendantes entre elles et indépendantes des ji, leurs dilTérenlielles dyr^^, .... dy,.j^/ pourront aussi s'exprimer linéairement en fonction des Wj et les coefficients pourront fournir de nouvelles intégrales premières, et ainsi de suite. II arrivera un moment où ces opérations auront une fin et on arrivera à un certain nombre ç> ^ n d'intégrales premières ji, .... jp telles que les coefficients cu,, des formules (2) et les coefficients but des formules (3) dyi = 6,1 w, + ... -h 6,.„w„ (i — 1, 2, ..., p)

soient des fonctions déterminées de ji, j2 Jo-

Cela posé, supposons, pour fixer les idées, que le déterminant obtenu en prenant les p premières colonnes du tableau des bu, ne soit pas nul. On pourra alors substituer aux p formes invariantes wj, ,.., w les formes invariantes rfji, ..., dy . Si on attribue aux jj, ..., y des valeurs constantes arbitraires, le système d'équations à intégrer admettra n — p formes invariantes w-^,.. ., w„ et on aura

p + i,...,n 10/ = ^ Ci4w.<0;i.] (s = p 4- 1, ..., n),

{ik)

les coefficients 0,7^, étant maintenant des constantes.

156. Prenons donc le cas où dans les formules (2) les coefficients Ciks sont tous constants. Il est d'abord facile de voir que réciproquement l'existence de relations telles que (2) entraîne comme conséquence la propriété de» formes wj, ,..,to„ d'être invariantes vis-à-vis des équations différentielles (i) : le système caractéristique de l'ensemble des formes coj, wj, ..., w„ s'obtient en effet (n° 78) en ajoutant aux équations (1) les équations des systèmes associés de o)/, wj', ..., o),/, équations qui sont toutes des conséquences des équations (i).

Si l'on substitue aux formes wi, ,.., w„ des combinaisons linéaires à coefficients constants

/ w, = «1,0^1 -H «ijO), -+- ... -h a,„a)„,

ces n nouvelles formes sont encore invariantes et on a encore des relations

'/= 2d ^'t'Lw,-WAj

l56 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

avec de nouvelles constantes Ci,,s • Nous dirons que le tableau des cn^, a la même structure que le tableau des 0,7,5.

Il se peut qu'on puisse choisir les coefficients constants Oij de la substitution (A) de manière que dans l'expression des v <; n premières dérivées w'i, ..., u)^ ne figurent que wj, .... w^, c'est-à-dire de manière que l'on ait

Dans ce cas les formes tjji, ..., rn^ sont invariantes pour le système complètement intégrable d'équations de Pfaff

Si on sait intégrer ce système et si on égale à des constantes arbitraires ses intégrales premières, le système donné se ramène à un système analogue au premier, sauf que n est remplacé par n — v.

Nous dirons que le tableau des Cj^j est simple s'il est impossible de trouver une substitution linéaire à coefficients constants (4) effectuant la réduction précédente. Nous voyons alors que le système d'équations différentielles donné peut se ramener à des systèmes successifs pour chacun desquels le tableau des Cnc, est simple. A chaque tableau simple correspond un problème particulier d'intégration.

157. — Laissant de côté pour le moment cette méthode de réduction, imaginons un second système d'équations difi'érentielles

(1') Toi =T!J2 = ... =Tn„ = o

admettant les n formes invariantes wi avec les relations

<2') W = 2 '-•iA»[^i^A].

où les coefficients C;;^, ont les mêmes valeurs numériques que dans les formules (2). Soient respectivement

Jl. J2 Jn,

Zj, Zj, ..., z„

deux systèmes d'intégrales premières indépendantes, le premier pour les équations (1), le second pour les équations (1'). Alors wj, wj, .... w„ peuvent «'exprimer au moyen des jj et de leurs différentielles, de même que thi, ..., tii„ peuvent s'exprimer au moyen des 2, et de leurs différentielles. // est possible de choisir les intégrales premières 2, de façon que les ^i s'expriment au moyen des Zi et des dzi de la même manière que les Wj- au moyen des yi et des dyi. Cela revient à dire que si cette condition n'est pas réalisée, on peut du moins trouver des fonctions

/i(yu -M Jm), •■•./n(ji, .--, v„)

telles qu'en posant

Zy =f(yu •.., yn) Zn =fn(jl> ••., Jn)

ÉQUATIONS A PLUSIEURS INVARIANTS INTEGRAUX LINÉAIRES iSy

les crr, deviennent respectivement égaux aux coj. Il suffît pour cela d'intégrer les équations aux différentielles totales

(rsi — wi = O,

\ nT,i — oi,i = O,

OÙ les Zi sont des fonctions inconnues des variables indépendantes j,. Ce système de Pfaff (5) est complètement intégrable (n° 101), car, si l'on tient compte des équations (5), les dérivées extérieures

h' =^Cik,[rrSimi,] — ZjCjksi'

de leurs premiers membres s'annulent toutes. Il est donc possible, et cela d'une infinité de manières (dépendant de n constantes arbitraires), de satisfaire aux conditions énoncées.

Cela prouve en particulier qu€ les intégrations des deux systèmes (i) et (i') sont deux problèmes essentiellement de même nature, en ce sens que toute métbode n'utilisant pour l'inlégration que les propriétés données de loi, ..., a),j d^élre des Jormes invariantes, pourra être appliquée parallèllement aux systèmes (i) et (i'), tout progrès dans l'intégration de (i) ayant son équivalent dans l'intégration de (i').