LE PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION D IIAMILTON Q
8. Le principe de la moindre action d'Iïamilton s'étend sans dinicullé aux systèmes précédents. Posons
= I [i ^m(x'^ -+- Y^ + 2'*) + Uld/.
Regardons les paramètres </i, ..., ^„ comme des fonctions de t et d'un paramètre a, les limites inférieure et supérieure de l'intégrale pouvant dépendre de a. Un calcul identique à celui qui a été fait plus haut (n° 2) nous donne la variation oW de Vaciion, quand on donne à ot une vai-iation ôx. On obtient
(8) ôw = r^^i. r.^i, + j^'' [su - yj^p^^^%'-y-^%^')y^
en posant
Cela posé, le principe de d'Alembert montre immédiatement que, étant donné un mouvement réel du système, si l'on considère ce mouvement dans un intervalle de temps quelconque (ig, <i), il réalise par rapport à tous les mouvements imaginables infiniment voisins qui correspondent à la même \iOsition initiale et à la même position finale du système, un extremiim de l'action W. Réciproquement les seuls mouvements qui jouissent de cette propriété sont les mouvements réels du système : c'est le principe de la moindre action d'Hamilton.
La formule (8) montre de plus que l'intégrale
fermé d'états du système (compatibles avec les liaisons) ne change pas si on déforme ce contour fermé en déplaçant d'une manière quelconque chacun des états qui le constituent le long de la trajectoire correspondante du système. Autrement dit l'intégrale i wg est un invariant intégral pour les équa-
lians différentielles du mouvement,
La forme différentielle a)>, où l'on suppose que l'on ne considère que des *^tats du système compatibles avec les liaisons, peut encore être appelée tenseur « quantité de mouvement-énergie » du système.
9. Les différentielles 5x, oy, Sz, 8l qui entrent dans l'expression wg ne sont pas en général arbitraires, car elles doivent vérifier les équations obtenues en
lO LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX
diflerentiant totalement les équations de liaison du système. On peut aussi les exprimer au moyen de
si l'on a introduit les n paramètres de position du système. Nous allons nous placer à ce point de vue et déterminer d'une part les équations différentielles du mouvement, d'autre part le tenseur a quantité de mouvement-énergie ». Il nous suffira pour cela de calculer 8W, en supposant l'action élémentaire exprimée au moyen des paramètres q et du temps /. Posons
T, l'énergie cinétique, est une fonction du second degré par rapport aux dérivées -^, que nous écrirons q/ et que nous regarderons comme des arguments indépendants des g, et de t. Posons provisoirement
F = T -h U, W .^ 1 ' Fdt.
Un calcul simple donne
or
Bqi'dt=±c;^dt=^~^{oqi)dt = d{Bqi);
on a donc, en intégrant par parties,
Remarquons enfm qu'on a
d'où
[^qiU, = ^^(qi')-qr^t, et [o>L^=5(g,('))-7/WS<..
On a donc finalement
■ôF\ ., ,.., /^ , ôF
