II. — Le groupe qui conserve les invariants donnés

158. Revenons au système (i) et imaginons fait un choix de n intégrsles premières indépendantes

Jl. J2, •... Jn-

Il est possible de trouver une infinité d'autres systèmes de n intégrales premières

Ji. Yi, ■ -, Jn telles que les formes ws s'expriment au moyen des j,- et de leurs différentielles de la même manière qu'au moyen des jj et de leurs différentielles. Il suffit pour cela d'intégrer le système de PfafT

ÎWj — coj = o, .....

(0,1 — a)„ = O, où to, désigne la même fonction des jj et ofjj que w^ Test des jj et d'y,. Dans ce système de Pfafî regardons les arguments/,, ..., jn comme des fonctions inconnues des variables indépendantes ji, ..., j„. Un tel système est complètement intégrable pour la même raison qui a été indiquée relativement au système (5). Il existe donc des fonctions

(7; 7. =/.(ji, ..., Jn; C,,.,.,C„) (s = i,..., n)

dépendant de n constantes arbitraires et satisfaisant aux conditions énoncées

plus haut.

108 LEÇO?fS SUR LES INVAHIANTS INTKRRAIJX

Les équations (7) définissent une infinité de transformations effectuées sur les intégrales premières ji, .... j„ et conservant les données du problème, c'està-dire laissant invariantes les formes wj, ..., w„. (]es transformations forment un groupe G, car étant caractérisées par la propriété de conserver Wi, ..., «>„, il est bien évident qu'en effectuant l'une à la suite de l'autre deux transformations de la forme (7), on obtient encore une transformation résultante de la même forme. Ce groupe G est un groupe fini à n paramètres : c'est le plus grand groupe qui, appliqué aux intégrales premières du système donné, conserve les j ormes invariantes données. Comme on le conçoit facilement, le parti qu'on peut tirer de la connaissance de ces n formes invariantes dépend de la nature de ce groupe. C'est du reste là un fait général s'appliquant à tous les cas où on connaît a priori des invariants intégraux, des systèmes d'équations invariantes, des transformations infinitésimales, etc. La nature du plus grand groupe de transformations qui, appliquées aux intégrales premières des équations différentielles données (ou, ce qui revient au même, à leurs courbes intégrales regardées comme des êtres indivisibles), conserve les renseignements connus, à une importance prépondérante dans l'intégration du système.

Dans le cas qui nous occupe, on voit en particulier qu'il est impossible, en se basant uniquement sur le fait que oji, ..., w^ sont des formes invariantes, d'obtenir aucune intégrale première sans intégration ' ; sinon en effet la propriété des formes wi, .... w„ d'être invariantes permettrait par elle-même d'individualiser une intégrale première, y^ par exemple, qui devrait par suite être égale à l'une quelconque des intégrales yi définies par les formules (7) ; or cela est manifestement impossible, car les équations (6) admettent toujours une solution telle qu'à des valeurs numériques données de ji, ..., Jn. correspondent des valeurs numériques arbitraires de ji , ..., y^.

159- Les constantes 0^^ jouent un rôle important relativement au groupe G : ce sont ce que, dans la théorie des groupes, on appelle les constantes de structure de ce groupe. La méthode de réduction indiquée plus haut (n° 156) repose précisément sur la décomposition de G en une série normale de sousgroupes. Le cas où le tableau des Cj^^est simple correspond aux groupes simples.

On sait que les constantes de structure d'un groupe ne sont pas arbitraires; on peut le vérifier ici en exprimant que les dérivées extérieures deu)/, ..., to/ sont nulles. La dérivée extérieure de 10/, en utilisant les expressions (2) de coi', ..., w/, est (n° 73)

Jimi

{ik)

[[wi'w^] — [Wjto/])

(apy) \i=.^ I

' Gela veut dire par une suite quelconque d'opérations univoqaes appliquées à w,, ..., co„ et susceptibles d'être effectuées quelle que soit la nature des coefficients de ces formes.

ÉQUATIONS A PLUSIEURS INVARIANTS INTÉGRAUX LINÉAIRES lÔQ

«On a donc les relations nécessaires

On démontre dans la théorie des groupes qu'elles sont suffisantes pour qu'il existe un groupe admettant les C/^j pour constantes de structure.