III. — Exemples
160. Supposons toutes les constantes c,,t, nulles. II est évident alors que les formes w,, ..., w„ étant des différentielles exactes, l'intégration n'exige que n quadratures indépendantes. Les formes wi, ..., co„ étant réductibles à
le groupe G a pour équations
Le cas précédent se présente toujours si /t =: i .
Cherchons quels sont tous les cas possibles pour m = 2. En dehors du cas qui vient d'être examiné, on pourrait avoir
Wj' = 6ra)ia)2], les coefficients a et 6 n'étant pas nuls tous les deux. Supposons par exemple 6^0. En prenant awo — èioi comme nouvelle forme a>i, on voit immédiatement qu'on a
Une première quadrature donne
^^ = ifyi ;
en égalant ensuite ji à une constante arbitraire, wj devient une différentielle exacte et une deuxième quadrature achève l'intégration. En changeant un peu les notations, on peut supposer
dyi
Le groupe G a pour équations
l60 LEÇONS SIR LES INVARIANTS INTÉGRAUX
161. Nous ne ferons pas la discussion générale pour n = 3. Signalons seulement le cas le plus intéressant où l'on peut réduire les formules (2) à
102' = [WjtOg],
Dans ce cas l'intégration des équations (i) revient à celle d' une équation de Riccati.
Considérons en effet l'équation de PfafT
(8) o[f 4- coj -4- ^a>2 H /^Wg = o,
où t est regardée comme une fonction inconnue des variables, dépendantes et indépendantes, qui figurent dans les équations différentielles données. Cette équatiên est complètement intégrable : on vérifie en effet sans difficulté que la dérivée extérieure de son premier membre est nulle si on tient compte de l'équation elle-même (et si on utilise les expressions de coi', 102', Wj'). Par suite, comme on sait, on peut ramener son intégration à celle d'une équation différentielle ordinaire, qui est évidemment une équation de Riccati. Or si l'on désigne par jj, J2. Js un système d'intégrales premières indépendantes des équations données (i), les expressions Wj, im.,, Wg peuvent s'exprimer au moyen des trois quantités jj, jj, jg et de leurs différentielles : la solution générale t de l'équation (i) est donc une fonction de ji, J2, y 3 (et d'une constante arbitraire C). Par suite si l'on a intégré l'équation de Riccati (8) sous la forme' classique
es
es
les rapports mutuels des quatre fonctions a, p, y, 0 fournissent trois intégrales premières des équations données, et on démontre facilement qu'elles sont indépendantes.
