V. — Généralisations

162- Nous n'insisterons pas davantage sur cette théorie qui, pour être développée convenablement, exigerait des connaissances assez étendues sur la théorie des groupes. On voit comment cette dernière s'introduit nécessairement si on veut pousser jusqu'au bout les méthodes d'intégration d'équations différentielles qui admettent des invariants intégraux donnés. Signalons seulement que la méthode indiquée au n° 142 peut être généralisée à un système quelconque d'équations différentielles admettant des formes invariantes, des équations de Pfaff invariantes, etc. Elle consiste, par l' introduction de variables auxiliaires, à former autant d'invariants intégraux linéaires que le système d'équations données comporte d'intégrales premières indépendantes. Un exemple suffira pour faire comprendre l'esprit de la méthode.

EQUATIONS A PLUSIEURS INVARIANTS INTÉGRAUX LINÉAIRES l6l

Supposons qu'on ait à intégrer un système d équations difTérentielles (S) à 4 variables

Wl = 0^2 = 11)3 = O,

et que chacune des équations wj = o, 102 =0, 0)3 = o soit invariante pour le système donné. On introduira trois variables auxiliaires nouvelles «i, Uj, «3 et on considérera les trois formes

coj = UiWi, coo = «ja)2, a>3 = U3W3.

L'intégration des équations caractéristiques (2) de ces trois formes entraînera celle des équations différentielles données par l'élimination de u,, «2, u-i entre les relations qui définissent une solution quelconque de (2), Formons alors les dérivées extérieures w/, wj', 0)3' ; en supposant qu'on ait

Wj' ^ ai[a>20J3] (mod wj), W2' ^ aj[a)3coj] (mod W2), tog' ^ a3[wia)j] (mod 0)3),

avec des coefficients Oi, Qj, 03 fonctions des variables primitives, on aura

(mod wj ),

- , QiUi r -1

(mod 102),

^'^ = a,ul l^"*"^^

(mod wg).

Les coefficients

sont donc des intégrales premières du système (S) caractéristique des formes u)i , (Oî , W3 . Par suite il en est de même de

et la forme

est encore une forme invariante. Mais elle ne contient pas les variables auxiliaires «1, Uj, «3; c'est donc une forme invariante pour les équations données (S), et il est de même de ^/a^ai wj, /«lOî tog. Par suite si aucun des coefficients fli. Oi, 03 n'est nul, le système différentiel donné admet trois formes linéaires invariantes et on est ramené au problème traité dans ce Chapitre.

Il n'en sera naturellement pas toujours ainsi, mais dans tous les cas on aura le moyen de tirer tout le parti possible des renseignements connus sur les équations données.

E. Cahian. — Leçons sur les Invariants inlégraux.