I. — Réduction du problème
163. Nous avons déjà considéré des équations différentielles admettant des transformations infinitésimales, mais ces équations étaient supposées admettre un invariant intégral ou une équation de Pfaff invariante. Nous allons maintenant nous placer à un point de vue un peu plus général, qui nous fournira du reste une illustration des théories esquissées au Chapitre précédent.
Considérons un système de n équations différentielles ordinaires (ou un système complètement intégrable de n équations de Pfaff)
(l) loi = Wj = ... = (i)fi ■= o,
et supposons que ce système admette un certain nombre r <^ n de transformations infinitésimales
AJ, A,/. ..., A,./.
Cherchons quel parti on peut tirer pour l'intégration de la connaissance de ces r transformations infinitésimales. C'est un problème qui a été résolu par S. Lie. Nous nous bornerons aux généralités essentielles.
Considérons le tableau des quantités oii{\k) obtenues en remplaçant dans la forme w^ le symbole de différentiation indéterminée par le symbole de la transformation infinitésimale K^f. Supposons que dans ce tableau
■o>i(AO co,(AO
j„(Ai) w„(A2) ... w„(A,)
EQUATIONS DIFFEREMTIELLES ET TKAJ^SFORMATIOSS INFINITESIMALES
le déterminant formé des r premières lignes et des r colonnes ne soit pas nul. On peut alors substituer aux premiers membres des équations (i) des combinaisons linéaires de ces premiers membres de manière que le tableau devienne
c'est-à-dire de manière que tous les Wj(A.;) soient nuls, saut
Wi(Ai) = W2(A2) = ... = w,,(A,.) = I.
Il est évident que si n est supérieur à r, les nouvelles formes w^, ..., w„ ne sont pas parfaitement déterminées : on peut encore effectuer sur
une substitution linéaire quelconque et Ton peut ajouter à chacune des formes «>,, ..., CD,, une combinaison linéaire quelconque de w^+i, ..., w„. Si les équations (i) avaient été mises sous la forme
^J'i =dyi = ... = dy„ = o,
il est évident que, les quantités oji(Ây) =:A/ji) étant des intégrales premières, les nouvelles formes fOj, ..., a)„ obtenues en réduisant le tableau des w,(A;) à sa forme canonique pourraient toujours être supposées formées avec les yi et leurs différentielles. Il résulte de cela et de ce qui a été dit plus haut les deux conséquences suivantes :
1° J' ouïes les fois que le lableaa des a),(AA) est réduit à sa forme normale (3), le système de Pfajf
Wr+l =
est un système invariant ;
2" Chacune des formes linéaires w,, ..., w,. est une forme invariante, à une combinaison linéaire près des premiers membres du système de PJaff invariant précédent.
164. Avant d'alier plus loin, remarquons que si le système (i) admet les deux transformations infinitésimales A/ et B/, il admet la transformation infinitésimale C/ dont le symbole est défini par
Admettoas, ce qui ne restreint pas la généralité, que les symboles des transformations infinitésimales qu'on peut déduire des r transformations
l6/i LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX
données prises deux à deux soient des combinaisons linéaires de Ai/, ..., A,.y. Autrement dit supposons qu'on a
(5) A,(Â,/) - A,(A,/) :=''^yi,sA,J {i, /c = I, 2, .... r).
Nous allons, dans cette hypothèse, démontrer que le système de Pfaff (4) est complètement intégrable.
Pour faire cette démonstration il faut que nous revenions sur la définition du covariant bilinéaire w'(i5, S') d'une forme linéaire w, dans le cas, que nous n'avons pas encore envisagé jusqu'ici, où les deux symboles de différentiation 0, o' ne sont pas échangeables entre eux. Si l'on pose
io(8) = ai^Xi ■+- 0280:2 -+-... -H a/jx„, on a
ojj(S') — 5'a)(o) = a^(oB'x^ — ô'SxJ + ... + a„(5o'a;„ — 8'oa-,i) V^ /ôOi. baA .^ r,, !v -s/ \
-\- > • (oXiO Xk — OXi^O Xi),
OU encore, en convenant de poser
(6) om(o') — o'a)(ô) = K°") + <*^'(^' ^')-
Appliquons cette formule au cas où les symboles 8 et 6' sont remplacés par les symboles Ai/ et A;^/ ; il conviendra alors de remplacer 8" par le symbole
A,(A,/) - A,(A,./) = '^TiksKf.
Enfin supposons qu'on prenne pour w Tune quelconque des formes <.o^^i, ..., w„, qu'on peut, comme nous l'avons vu, supposer exprimées au moyen de ji, ..., j,j et leurs différentielles. On aura
.Or donc on a la relation
Il résulte de là que les coefficients c^ j.,^ sont nuls dès que les indices >v, (Ji sont tous les deux inférieurs ou égaux à r, puisque la relation précédente se réduit manifestement alors à
Par conséquent les dérivées extérieures «',,,,, ..., m^' étant toutes nulles quand on tient compte des équations (/j), le système (A) est bien complètement intégrable (n' 101).
ÉQUATIONS DIFFÉHE>riELLES ET TR V.NSF0RMAÏIONS OFINITÉSIMALES l65
II. — Cas où il y a autant de transformations infinitésimales que de fonctions inconnues.
165- Supposons maintenant intégré le système (4), qui est un système de Pfaiï complètement intégrable absolument quelconque; supposons même simplem.ent connue une solution de ce système (4) : à cette solution correspondent dans le système donné une infinité de solutions obtenues en intégrant les équations
C'est un système dont on connaît r formes invariantes wj, ..., w^. On est ramené au problème traité dans le Chapitre précédent.
Il est facile ici de déterminer a priori les coefficients 0,^ qui entrent dans les expressions w/, ..., w/ :
Appliquons en effet la formule (6), en y remplaçant le symbole ô par le symbole A^, le symbole o' par le symbole A^-, et le symbole S" par
y^ Y3(3pAp. Comme tous les o/^A^) sont égaux à o ou à i, c'est-à-dire à des
constantes, la formule (6) se réduit à
o = Ta?. + ^z^s- On a donc •
Ciki = — Y'ft»-
166. Bornons-nous maintenant au cas où les coefficients yots sont des constantes. On démontre que dans ce cas les transformations infinitésimales données Aif, ..., Ar/ engendrent un groupe Ta r paramètres dont les coefficients de structure sont les Yia*. On voit que le système (7) rentre dans la catégorie de ceux qui ont été étudiés au Chapitre précédent (n» 156;, et le groupe G qui lui correspond a la même structure que le groupe r qu'admet le système différentiel donné (7). Ce groupe G est le pins grand groupe qui, appliqué aux intégrales premières j,, ..., yr, conserve la loi suivant laquelle ces intégrales sont échangées entre elles par les transformations infinitésimales données. Désignons en effet par y une fonction arbitraire de j,, ..., j^'. il est évident qu'on peut déterminer, d'une manière et d'une seule, r expressions de Pfaff tïti, .... to,. telles qu'on ait identiquement, c'est-à-dire quelles que soient les différentielles
dy^, ..., dvr, et aussi quels que soient les arguments -•' , ..., ~-y df=^^ dy, + ... -f- ^ dyr = nr.A./ -h ... + ^.A./.
l66 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX
Si dans celle identité on remplace le symbole de différenliation indéterminée d par le symbole A/,/, on aura
A,/=.n.(A,)A,/H- ... +T=T,,(A,)A,/; par suite tous les raj(A;,) sont nuls sauf
TîTi(Ai) = 73J2(A2) :=...= ra,.(A,.) = 1 ; par suite enfin les formes nr^ sont identiques aux formes o>,. Eflectuons alors sur ji, ..., jr une transformation du groupe G, ces quantités devenant ji, ... Jr ; la fonction / de ji, ..., j,. devient une fonction / de ji, ,.., jr", les symboles A,/, ..,, A/ deviennent Âj/, ..., Â,/ et l'on a
df= wiA,/ 4- ... -h w,A,7; mais les Wj étant formés avec les j, et leurs dilTcrentielles comme les w^
étaient formés avec les j,- et leurs difîérentielles, le coefficient de -i-
àyk
dans Ai] sera la même fonction de Vi, .... y. que le coefficient de -^ dans A,/ était fonction de y^, ..., j^. Autrement dit les transformations infinitésimales données transforment de la même manière les y, que les j,-.
On voit encore ici que le groupe G est le plus gi-and groupe de transformations qui, appliquées aux intégrales premières, conservent les renseignements donnés. ,,
ni. — Application aux équations différentielles du second ordre.
167. Nous avons déjà traité directement le cas n = r == i. Prenons quelques autres exemples. Une équation différentielle du àecond ordre de la forme
àx^ — ^ \dxl est équivaiente au système
dy — ydx = o,
qui admet Tes deux transformations infinitésimales
Pour réduire le tableau des quantités w,(A;c) à sa forme nonaak, il faut prendre
a>2 = dy — -^^^ .
Ces deux formes invariantes sont des difTérenticUes exactes et on a la solution générale cherchée par deux quadratures indépendantes
Prenons maintenant une équation différentielle du second ordre de la forme
^dx' — ^ \dx/
elle admet une translation parallèle à l'axe des x et une homothétie de centre 0, ce qui correspond aux deux transformations infinitésimales
Af=^l, Bf=x^ + y^I.
y dx -' ôx "^ dy
L'équation donnée est équivalente au système
dy — y'dx = o, ydy' — Y{y')dx = o.
Pour rendre le tableau des w,(Â//) normal, il faut prendre
», = rfx -,dj y^^.y
Comme on a ici
A(B/) - B(A/) = A/, on aura, ce qu'il est faciife de vérifier,
Wy' = O.
Par suite l'intégration s'effectue par deux quadratures :
