IV. — Généralisations. Exemples

168. Il pourrait arriver, dans le cas d'un système (i) de n équations de Pfaff admettant r transformations infinitésimales

Al/...., A,./,

l68 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

que le rang du tableau des Wi(A/t) fût inférieur à r (cela arrive sûrement si r > n). Soit alors p le rang de ce tableau et supposons, ce qui est permis, que le déterminant formé des p premières lignes et des p premières colonnes ne soit pas nul. On aura alors, quel que soit l'indice s, r — p relations de la forme

Wi(Ap-(-i) = X,iWs(Ai) + ... + Xipws(Ap),

Wi (Ar) = Xr— p, lOii(Ai) 4- ... 4- Xr— p,pWi(Ap).

Les coefficients X,y qui s'introduisent dans ces relations sont des intégrales premières; on aura en effet, pour toute combinaison linéaire w de wj, ..., co„, en particulier pour les différentielles t/ji, ..., dj„de « intégrales premières indépendantes, les mêmes relations

Ap+i(j.) = Xi,A,(j,) -h ... + >-<pAp(j*),

qui entraînent pour Xn, ..., Xip des valeurs ne dépendant que des Ai(yA), c'est-à-dire de ji, ..., j„.

Nous ne poursuivrons pas davantage la théorie dans ce cas général ; elle repose sur les mêmes principes que précédemment.