Exemple I. — Considérons l'équation différentielle

des courbes planes qui ont un rayon de courbure donné. Elle est équivalente au système

Wi ^ dy — y'dx = o,

W2 ^ Rdj' — (i + y^) ^ dx = o.

Ce système admet les trois transformations infinitésimales correspondant à une translation parallèle à Ox, à une translation parallèle à Oj et à une rotation autour de 0. Ces transformations doivent être calculées, non seulement en ce qui concerne leurs effets sur x et sur y, mais aussi sur y' . On trouve sans difficulté

-> dy

A3/= j ^ + rr ^ -+- (1+ /^) K- •' '' (ix ^y ày

Le tableau des quantités Wi(Aa) est le suivant :

— y' 1 x+yy'

On a donc

,(A3) = - ( j + :7^i=) -.(AO -^.[x- -^^=^ -.(A.)^

On obtient par suite par de simples difTérentiations deux intégrales premières du système donné et la solution générale est fournie par les formules

{x - co"^ -1- (r - c,)^ = R^-

170. Exemple II. — Considérons l'équation difFérentielle du troisième ordre

y — i-hj'2

qui définit les courbes planes de courbure constante. Elle est équivalente au système

toi ^ dy — y'dx =. o,

wj = dy' — ydx =0,

a>3 = dy"

3jy

dy'

Ce système admet quatre transformations infinitésimales correspondant à une translation parallèle à Ox, une translation parallèle à Oj, une rotation autour de 0 et une homothétie de centre 0. Les symboles de ces transformations, considérées comme opérant sur x, y, y' et y", sont

bx -^ ôj -^ dj"

Le tableau des quantités ojj(A;,) est ici

y I X -^yy

y" o I H- j'2 -f- yy" O O o

y — xy

— xy"

Il est de rang 3 et, par exemple, le déterminant obtenu en prenant la i'"% la 2* et la 4® colonne est différent de zéro. On en déduit les relations

^.(Aa)

y + -'--t/-')-..(Ao -^{x-f Ljt„/!),,(A,),

lyO LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAL X

qui conduisent à deux intégrales premières

/ iJl^ " — «; y y, .

Pour continuer l'intégration, choisissons des combinaisons linéaires toi, wj, C03 telles que le déterminant principal du tableau des Wi(Ai) soit réduit

à sa forme normale. Il faut pour cela prend

re

1 ^xy' \ , ,. dy"

j = dcc — ( — , H -'2 ]dy I - "

On a d'autre part

C/U = tOj -f- «tOg, C/V == COg -+- IIW3,

et

w,' = — [wiwj, w/ r^ — [wstoa]' CO3' = o.

Par suite wj est une différentielle exacte et on a par une cjaadrcUure l'intégrale première qui manque. La solution générale de l'équation donnée est fournie par les formules

— yr— -C3,

\/i -hy'

On voit ici que le groupe G qui conserve les données est

Cj = Cl, C2 = C2, C3 = aCs (car 0J3 ^= ^r- \

avec une constante arbitraire n ; c'est parce qu'il est à un seul paramètre que l'intégration se ramène à une quadrature. Dans l'exercice précédent, le groupe G se réduisait à la transformation identique et la solution était obtenue sans intégration.

171. Remarque. — Dans tous les exemples où on arrive à n formes linéaires invariantes, on a des invariants intégraux de tous les degrés en

-construisant avec Wj, ..., w„ une forme extérieure arbitraire à coeiïicients constants. C'est ainsi que dans le dernier exercice on a l'invariant intégral

/ / / WjWiWj qui, si on se borne à des ensembles d'états correspondant à la

même valeur de x, se réduit à

dydy'dy"

-yr—

Par suite, si on considère une famille quelconque de circonférences dépendant de trois paramètres et si on coupe les cercles de cette famille par une

parallèle quelconque à l'axe des j, l'intégrale 1 1 | n^ » étendue à la

famille considérée de' cercles, est indépendante de x. Elle est du reste égale

r rcdc fie fic

^ \ f j — ^-ir^ — ~ > en désignant parCj etC2les coordonnées du centre et G3 le rayon.