SH
0)1 = 8Hi,
0)2 = ÔH2,
0)3 = ÔH3,
j 0)4 = — ymi(a'jSa;i
en posant
(2; ^ H2 = "^mlz'x; — x{zi),
H3 = ^mlxi'yi — yi'x).
On a enfin
k,(io')= ^i^Vo.
LEÇONS SUR LES INVAWAÎNTS INTEGRAUX
Le tableau des quantités O;^ = oj'(A,^ A.J) a déjà été dressé dans un cas un peu plus général (n° 95). Nous le reproduisons ci-dessous.
-pH
pH
a-OHa
175- Nous connaissons maintenant cinq formes linéaires invariantes et le tableau des coefficients a^ définis par l'opération de la parenthèse de Poisson généralisée :
N[a)"'-'oji03y] =aij[io"'].
Appliquons la théorie du Chapitre XII (n° 125). Construisons la forme auxiliaire
*(^)- 2 <^sàà^
{ij) elle s'écrit
*(^)=pH[yj4-^[^,(H,^,+Hi,H-H3^3)]-f-H,[y3]+H4^3iiKH3[?,^4..
Elle est de rang 4 et sa réduction à sa forme normale
peut se faire en posant
OÙ les a; et <^i sont choisis, ce qui est toujours possible, de manière à avoir
APPLIC\1K)N DtS TUiîOiUES PIlÉCÉDEXlES AL' PROBLÈME DES II CORPS 176
on peut ajouter les conditions supplémentaires
a, Pi -h (X2P2 -+- «aPs = o, ,
a', -i-ai -ha; = pi -4- ,3: + P3' = vT3TqriTrrHi.
Or, endéGnissant cinq formes linéaires nio, rui, 75J.2, 75T3, rs^ par l'identité on obtient sans difficulté
— ^ H, (/II, + H,</H., + U,dU,
"^o — p-s Hi"TTTrrH]
r. — WFl ^pH H , cHI , -4- Il ,olIl , + H 3^11 r., dll-—— jj^__jj^^^
'^' /lï] .4- H; 4 H|
La forme auxiliaire <!> ayant été réduite à [c;%'] -+- [çi'^2']) on a co' = [nTiCTf,] + [r;T,ra.^] + [10^7713] + [cooto.] H- ..., c'est-à-dire, en efîectuant les calculs,
/ / 2 r H, (/H, + Ii,(/H, + Hst/H,-!
^' ' ) E,[dB,dE, ] -ML [dH.dU , ] -+- Il 3 [dll , dll , ]
f + Hmïr+ Hi "+- ""'
en posant (4) Q =
|-<'^ii - ^, ii- + k- + ii- )J + K-.] + .-
176. Si l'on égale les quatre intégrales premières H, Hj, H2, H3 à des constantes arbitraires, le rang de m' se réduit de six unités ; il est donc passé de Gn — 6 h 6n— 12, correspondant par conséquent à un problème k 3n — 6 degrés de liberté (3 dans le cas du problème des trois corps). Mais le système caractéristique correspondant contient des paramètres arbitraires.
Il y a un procédé (théorique) pour réduire le nombre des degrés de liberté tout en évitant l'introduction de paramètres arbitraires. En annulant la dérivée extérieure du second membre de l'équation (3) et tenant compte de la relation
on obtient
, rii.(/ii. +ii,rfn, + 1I3C/1I3 „i
7 6 LEÇONS SUR LRS INVARIANTS INTÉGRAUX
Celte relation exprime que la dérivée extérieure de la forme quadratique I Q^___J ' ?r.. H,dH,+H,dH,H-H3dH,-
- to' — - 1 0)4 — ! î— ^— -^ — ? I
v/H;TÎII+ÏÏ] , v/HTTH]THl r -L (Ii: -f- H,' + H^ H,[(iH,dH3] + Il,[rfH3(iH,] -4- H3[(iH,(/H,]
€st nulle. Cette propriété est du reste mise en évidence dans le dernier membre de l'égalité précédente dont le premier terme, étant une dérivée extérieure exacte, a une dérivée extérieure nulle. Nous allons voir qu'il en est de même du second terme.
Pour interpréter ce second terme, considérons le vecteur (OS) de longueur Y = /Hf + Hj + H^, qui représente le moment cinétique du système par rapport à l'origine et qui a pour projections Ht, H^, H3. Si l'on imagine un élément de surface tia décrit par le point S, et si l'on appelle «j, aj, aj les cosinus directeurs de la normale à cet élément de surface, on a
idH,dH3
] = ûtidu,
[dHadH,] = a,d.,
[ciH,
,<iH,] :
= ajdd,
et
par
suite
,[dH
H,[dn3dH
,]4-H3[(iH,dn,|
a,H, + ajlj +
a,II,
rfa =
cos ^ d<j
= du),
•\i représentant l'angle de OS avec la normale à l'élément, et dw l'angle solide sous lequel on voit de l'origine cet élément de surface. En désignant par 0 et cp la colatitude (angle avec Oz) et la longitude (angle du plan 2OS avec le plan xOz) du point S, on a d'autre part
dco = sin 6[d6d(p] ;
par suite la forme considérée peut être regardée comme la dérivée extérieure de la forme linéaire — cos 6dcp.
Posons alors
(5) T0 = ^-^ î^' + cos edcp :
nous voyons que les équations caractéristiques de l'invariant intégral relatif I m sont
( 0)5 = O, Wg = O, U),= O, ...
APPLICATIU.N DES THEORIES PRÉCÉDENTES AU PROBLEME DES /î CORPS I77
- Les équations du mouvement rapporté à un système de référence mobile.
177. Il est facile d'interpréter ce système. Nous nous placerons, pour fixer les idées, dans le cas du problème des trois corps de la Mécanique céleste ip = 1). Calculons d'abord les quantités w-(Ai), cog(Aî), etc. Pour cela appliquons aux deux membres de la formule (3) l'opération correspondant à Aif, mais en n'écrivant que les termes en dïi, lOg, w,, ..., wn. Nous aurons immédiatement
dll = W3(Âo)dH — w.(Ao)oJs -H W6(Ao)a), + ... -f- w,o(Ao)a),i, G = iOr;(Ai)clH — a).(Ai)w6 -+- W6(Ai)w7 -+- ... -4- Wjo(Ai)a)^i,
G = OJ3(A4)JH W-(A4)a)6 + We(A4)w7 -+-... 4- Wio(A4)a)it.
Nous trouvons ainsi que, pour a ^ 5, tous les wa(Aj) sont nuls, sauf «^(Ao) qui est égal à i.
Remarquons d'autre part que les quantités A,H + aH --^ sont toutes
nulles, puisque la fonction K == Hy^ est invariante pour chacune des transformations infinitésimales considérées. Nous voyons que le système (6) caractéristique de - Q peut être dèfiid comme j orme de: toutes les combinaisons linéaires
des équations du mouvement qui jouissent de la propriété d'être vérifiées identiquement quand on y remplace le symbole de différenliation indéterminée par le symbole de l'une quelconque des transjormations infinitésimales Aj/, A2/,
178. C'est ce résultat qui va nous permettre d'interpréter géométriquement le système (6).
Imaginons pour cela les ditïérenls systèmes de référence possibles, chaque système de référence étant défini par trois axes de coordonnées rectangulaires, une origine du temps et les unités de longueur, de temps et de masse. Nous fixerons une fois pour toutes l'unité de masse et nous imposerons aux autres unités la condition que la constante de l'attraction universelle ait une valeur numérique fixe. L'unité de longueur est encore arbitraire. Enfin nous fixerons l'origine des axes, qui sera le centre de gravité du système des trois corps, ainsi que l'origine du temps.
Les sjstèmes de référence qui restent disponibles dépendent de quatre paramètres arbitraires; trois d'entre eux fixent l'orientation des axes et un quatrième fixe les unités.
A chaque état des trois corps (défini par leurs positions, leurs vitesses et le temps, et dépendant de i3 yariables) on peut faire correspondre, suivant une
E. Cabtan. — Leçons sur les lovariaots intégraux. 13
loi déterminée à l'avance, un système de référence mobile de manière à réduire de 4 unités le nombre des quantités qui fixent l'état des trois corps par rapport à ce système de référence. On pourra par exemple choisir pour axe des X la droite qui joint le centre de gravité 0 au corps Ai, pour plan de&xy le plan des trois corps, et pour unité de longueur la distance OAi : Tétat des trois corps est aloi's défini par les deux coordonnées de A2, les six projections sur les trois axes des vitesses de Aj et de A2, et enfin le temps t. On pourrait fixer par une autre loi le choix du système de référence mobile correspondant à un état donné ; en prenant toujours Oz perpendiculaire au plan des trois corps, on pourrait prendre Ox parallèle à AjA^ et prendre pour unité de longueur le côté Ai As. On pourrait encore choisir les axes suivant l'une des deux lois précédentes, mais choisir les unités de manière que le moment cinétique OS soit mesuré par le nombre i . On pourrait encore prendre Oz perpendiculaire au plan des trois corps, prendre pour plan des xz le plan 2OS et choisir les unités de manière à mesurer OS par le nombre 1. Dans cette dernière hypothèse les neuf quantités qui détermineraient l'état des trois corps par rapport au système de référence mobile seraient les deux coordonnées de Al, les deux coordonnées de A2, le temps, et enfin les six composantes des vitesses de k^ et de A2, ce qui ferait 1 1 quantités, mais liées par les deux relations -{ = i, (f = o.
Supposons maintenant que nous ayons fait choix d'une des lois précédentes ou de toute autre loi imaginable pour faire correspondre à chaque état des trois corps un système de référence mobile, et soient
les neuf quantités qui déterminent l'état des trois corps par rapport au sys tème de référence mobile correspondant. L'état des trois corps sera déterminé par rapport à un système de référence fixe si on connaît, outre qi, ..., ç^, les quatre paramètres Uj, «2, «a» "i <1"^ définissent la position du système de référence mobila par rapport au système de référence fixe ; ces quatre paramètres seront par exemple les trois paramètres dont dépendent les neuf cosinus directeurs et le rapport de l'unité de longueur mobile à l'unité de longueur fixe. Finalement les quantités (au nombre de 19, mais se réduisant à i3) :
oci, yu Zi, Xi' , y/ , Zi' , t,
qui fixent l'état des trois corps par rapport au système de référence fixe sont des fonctions déterminées des i3 quantités
gi, q-2, .... 79' "i' «2' "3, «4.
Inversement ces dernières sont des fonctions déterminées des premières. Or les 9 quantités q^, ..., 9a> considérées comme fonctions des Xi, yi, Zi, a;/, j/, 2/, t, sont manifestement invariantes par chacune des transformations infinitésimales Ai/, ..., A^y", car effectuer une de ces transformations revient à changer le système de référence fixe, par suite altérer les quantités Uj, u^, «3, «t qui
