APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES AU PROBLEME DES W CORPS I

définissent la relation entre le système de référence mobile et le système de référence fixe, mais sans altérer les quantités qi qui définissent l'état des trois corps par rapport au système do référence mobile.

On peut dire encore que si l'on cherche toutes les formes différentielles linéaires en dxt, dji, ..., dz/, dl qui jouissent de la propriété de s'annuler quand on y remplace le symbole d par l'un des symboles Aj/, ..., A4/, on trouve toutes les combinaisons linéaires en dqi, .... dq^, et uniquement celles-là.

En particulier les équations (6) du système caractéristique de Q ont leurs premiers membres linéaires en J(/,, ,.., dq^. Comme elles sont au nombre de 8, ces équations (6) peuvent se mettre sous la forme

dqi — Cidq^ — O (t= 1, 2, .... 8);

et, comme elles sont complètement intégrables, les G; ne dépendent que des qi. Autrement dit le système (6) est un système d'équations différentielles ordinaires en </,, ..., 79 : il définit donc le mouvement des trois corps par rapport au système de référence mobile.

179. Il est maintenant facile de former effectivement les équations du système (6). Partons pour cela de l'invariant intégral relatif / rn, où on a posé

ra = - W4 + cos Od«,

et imaginons que nous ayons exprimé toutes les quantités ce,, y^ ..., 2,', t au moyen de ^i, ..., (/g, Uj, ..., 1/4. Nous savons d'abord que les différentielles dui, du.2, (i«3, diii, ne doivent pas figurer dans l'expression définitive de vs' qui doit être formé uniquement au moyen des formes linéaires dqi — Cidq^. Par suite nous pouvons, pour calculer w', regarder «j, ..., «4 comme des paramètres fixes. De plus lea coefficients de la forme cj', exprimée au moyen de dqi, ..., (/(/g, ne doivent pas contenir les variables Uj, ..., «4, sans cela la dérivée extérieure de ra' ne serait pas nulle : on peut donc, pour faire le calcul, non seulement regarder Uj, ..., U4 comme des paramètres fixes, mais on peut encore leur donner des valeurs numériques arbitraires. On peut donc en particulier leur donner les valeurs numériques qui correspondraient au cas où le système de référence fixe se confondrait avec le système de référence mobile. Autrement dit on peut, pour former ra', donner dans rn aux quantités X;, yi^...,z{,t les valeurs X,, Y;, ..., Z/, T qui définissent l'état des trois corps par rapport au système de référence mobile ; ces treize quantités Xj, ..., T se ramenant, comme nous l'avons vu, à neuf.

180. Examinons en particulier le cas où l'unité de longueur mobile est choisie de manière à réduire y à l'unité (l'unité de longueur mobile se trouve alors fixe). On a dans ce cas

CT = 2W4 + CCS 6dcp ;

l8o LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

en ajoutant une diflérentielle exacte, on a, pour les équations diflérentielles cherchées, l'invariant intégral relatif / o> + ces M'f.

L'axe des z étant supposé normal au plan des trois corps et l'axe des x par exemple parallèle à AjAa, la position du triangle dépend de trois quantités $,, $2, ?8. Or on a

w + cos erfcp ='V/ni(X/dXi + Yi'dYi) — HdT + ces erf-f

= ^iW^i H- riid^Z2 H- ^3<^?3 -H ftd^^i — Hdï, en posant

k = ?, ^14 = ces 8.

Les équations du mouvement relatif cherché sont alors

d'ci ôH dr,i ôH

dt àr: dt àii

Elles sont canoniques et admettent l'intégrale première H = C".

On pourrait prendre par exemple pour ^i, ^2j ^3 '^s longueurs des trois côtés du triangle AjAgAs,

Si l'on supposait le mouvement plan, 0 serait nul, et il n'y aurait plus que six fonctions inconnues ^i, ^2, ^3, ""li. "'".s. ^is-

18^ . Une fois connu le mouvement des trois corps par rapport au système de référence mobile, le mouvement absolu se déterminerait par une quadrature. En effet d'abord, connaissant les projections sur les axes mobiles du moment cinétique OS, on aurait le rapport des unités mobiles aux unités fixes en se donnant le nombre constant G qui mesure OS par rapport au système de référence fixe. On pourrait alors prendre OS comme axe des z fixe, la position des axes fixes dépendant d'vin angle inconnu. Cet angle serait donné par une quadrature : il suffit en effet de remarquer que la forme invariante W4 (exprimée au moyen des coordonnées yïxes) est une différentielle exacte quand on tient compte des relations supposées obtenues qui définissent le mouvement relatif : la formule

H,[(JHot/H3] + [EM,dïU] H- ll,[diiM,]

montre en effet que dans ces conditions W4' est nul (flj et i]2 étant nuls). L'intégration est donc achevée au moyen de la formule

On peut remarquer que ceite quadrature peut se faire lorsqu'on a déterminé le mouvement relatif au seul point de vue géométrique avant d'avoir trouvé le temps (par une quadrature comme l'on sait). Autrement dit les deux quadratures qui donnent le temps (dans le mouvement relatii) et

APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES AU PROBLÈME DES n CORPS l8l

l'orientation définitive des axes fixes par rapport aux axes mobiles peuvent se faire indépendamment l'une de tautre.