III. — Cas où les constantes des aires sont toutes nulles

182- La théorie précédente suppose essentiellement Hj^ |- H2* -h Hj^ ;zf o. Etudions les mouvements pour lesquels les constantes des aii-es seraient nulles toutes les trois. Dans ce cas il faut supposer les 1 8 quantités

^i, yu 2t, ^i, yî, 2/

non seulement liées par les relations

mais encore par les relations

^rni{y{zi — zly,) = o, ^mi{zi'Xi — x/z,) = o, ^mix^yi — j/rr.) = o .

Il est facile de voir que le plan du triangle des trois corps reste fixe, car les composantes des trois vitesses qui sont normales à ce plan sont toutes nulles, si du moins les trois corps ne sont pas en ligne droite,

Nous pouvons donc supposer les Zj et 2/ tous nuls, et il reste entre les 12 quantités Xi, j„ x/, y/ les cinq relations

^mi Xi = o, ^mi yi — o,

Il y a donc en tout sept variables dépendantes et une variable indépendante (le temps). Or 0/, qui est de rang pair, ne peut pas être de rang égal au nombre des équations difl'érentielles du mouvement ; le système caractéristique de w' ne se confond pas avec celui des équations du mouvement.

Nous avons ici trois transformations infinitésimales A,,/, A3/, A4/ avec

to'(Ao, S) = 6H, w'(A3, S) = o, «'(Ai, S) = 0)^.

Les sept équations différentielles du mouvement peuvent être mises sous forme d'équations de Pfaff

CT, =: o, njj == o, ..., m^ = O, et on peut supposer

«'((As) = ... = rog(A3) = O, TO7(A3) = 1.

iSa LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

La forme to", qui peut s'exprimer au moyen de TOj, ..., rrr,, ne contient sûrement pas ni,, sinon la forme a)'(A3, 8) ne serait pas identiquement nulle. Par suite le système caractéristique de w' est le système complètement intégrable

Wj^ = nT2 ^^^^ ••« ^^^^ ^6 "~~ O ',

il donne le mouvement des trois corps indépendamment de V orientation du triangle des trois corps autour de leur centre de gravité. Ce système une fois intégré, l'orientation est donnée par une quadrature. La relation m-j{S.i) = i assure en effet à rs^ la propriété d'être une forme invariante pour l'équation différentielle ra^ = o.

Revenons maintenant à la forme w' de rang 6. Son système caractéristique admet les deux transformations infinitésimales A^/ et A4/ qui donnent naissance à deux formes linéaires invariantes w^ = 6H que nous désignerons par Wi, et (1)4 que nous désignerons par w^. Nous supposerons, ce qui est permis, que pour chacune des formes ^3, ..., vs^, on a Tn(Ao) = ^(Ai) = o. Un calcul analogue à celui qui a été fait dans le cas général donne

w' = — ^ [cTiTSj] -+- û = — ^ [ôHcJa] + Q,

Q étant de rang 4 et formé avec ©3, njj, ts^, ro^.

Comme on l'a vu plus haut, on a w' = ato/ = araj', par suite

Q = 2^2' + [^ THsl = ~ (v/H TU2)'.

La forme - V^H. Q est donc une dérivée exacte ; elle admet par suite pour système caractéristique les équations

(7) ^3 = ^i = THg = TOg z= o.

Ce système peut être intégré par des équations d'ordres 4, 3, o.

En définitive les équations du mouvement seront données par des opérations d'ordres 4 et 2 suivies de deux quadratures.

Remarquons que la forme s/Rw^, qui joue le rôle d'invariant relatif pour le système (7), est égale, d'après l'expression (i) de ui^ =r: cjg, à

V/Hr^a = - v/H ^mi(xM' + Ji^j/ + ^ cc/8xi + ^ j/8j0 + o(U't).

Le système (7) est facile à interpréter : il donne le mouvement des trois corps par rapport à un système de référence mobile qu'on peut faire correspondre suivant une loi déterminée à chaque état des trois corps, Vorigine du temps n étant plus nécessairement fixe. On peut par exemple choisir pour origine mobile du temps l'instant actuel, et fixer l'unité de longueur par la condition que l'énergie H ait une valeur numérique fixe donnée. Les équations du système s'obtiennent en partant de la forme v/Hroj, dans laquelle on fait inter-

APPLICATION DES THEORIES PRÉCÉDENTES AU PROBLEME DES fl CORPS l83

venir les coordonnées mobiles : on peut évidemment, dans l'hypothèse envisagée, lui substituer la forme

^mi{cCi'oxt -+- yi'oyi).

Ici les quantités de mouvement des trois corps forment un système de vecteurs équivalent à zéro : on peut donc regarder la quantité de mouvement du corps Ai comme la résultante de deux vecteurs Uj et u^ dirigés suivant les côtés AjA/, et AjAj et comptés positivement dans les prolongements de A^Aj et A;Ai. On a alors, en désignant par r,, rz, rs les trois côtés du triangle,

On a de plus

u 1/2, 2, ''2^-^-''3^ — '*i^\ , ^/m2"i3 , '«3m, mimsX,

am, \ ' r-iVi ) *' \ r, v^ r^ }

Les équations du mouvement relatif sont alors

r/r, rf/'a àr^ — ofui — àn^ — àu^

SH ~ âH ~ dH ~ "âH" ~ aH ~ dH • ôu, 0U2 ô«3 ôri ôro ara