IV. — GsiS où la constante des forces vives est nulle

183. La théorie précédente suppose implicitement que la constante des forces vives n'est pas nulle. Si nous la supposons nulle, les variables sont soumises à une nouvelle relation

^^^mi{x/^ + yP)-\] = o;

il n'y a plus que six variables dépendantes et une variable indépendante. La forme invariante w'(A(,, ô) est ici identiquement nulle, de même que la forme

W'(A3, Sj.

Le système des équations du mouvement peut être mis sous la forme

CJl := CJ2 = ... ^=^ ^6 ^^^ 0>

et on peut supposer (n° 163)

T^l{A.i) = Tn^{A3)= ... — m^{^^) = 0, BÏ5(A8) = O, T!J6(A3)=1.

La forme to', exprimée au moyen des Tn^, ne contient évidemment ni nrg ni rog. Supposons enfin

^2(^4) = nJ3(A4) = ra4(A4) = 0, Wi(A4) == 1,

l8/i LEÇONS SUB LES INVARIANTS INTÉGRAUX

et a)'(A;, S) == THj. On aura

o)' = iTS^ = [nTiTn2] H- [1513^4].

La forme vs^ est du second type et les équations

nig = 133 = Tu^ = o

forment un système complètement inlégrable, caractéristique de l'équation TO.2 = o : c'est celui qui définit le mouvement des trois corps par rapport à un système de référence mobile, l'origine du temps pouvant être variable. On peut ici par exemple supposer choisi pour unité de longueur le côté r-^ du triangle. Les équations à intégrer constituent alors le système caractéristique de ïéqaalion de PfafT

ad(Htrt -h U2''2 ■+■ «3) — Uidri — u^dr^i = o,

les quantités Uj, U2, «3, Tj, r2 étant liées par la relation

-i- {u,^ + «3^ H- 2«2U3 cos AO + ... -/ ("^^ ^'nÉIh^- m,m,) = o.

En posant

r, = ce, Ta t= y, u,ri -h U2r2 + «3 = 2, u, = 2p, «2 = 29,

on est ramené à l'intégration de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre

Cette équation étant intégrée, on a par des différentiations la solution générale du système caractéristique de to', car m^ étant mise sous la forme ZidYi ■+- ZjdYg, on en déduit par des différentiations les intégrales premières Yj, Y2, Zi, Z2 de ce système.

Mais les équations du mouvement ne sont pas encore intégrées complètement ; il faut encore intégrer les équations

TUg = TjTg = O.

Elles constituent un système d'équations différentielles admettant les deux transformations infinitésimales A(,/, A3J, et le tableau

APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES AU PROBLÈME DES Al CORPS l85

est précisément réduit à sa forme normale

o 1 il

Gomme d'autre part les deux transformations A^/, A,/ sont échangeable» entre elles, puisqu'on a

A,{X,J) - MKf) = o, on a

TOs' = O.

TOg' = o.

Par suite l'intégration s'effectue au moyen de deux quadratures indépendantes; l'une donne l'orientation du triangle A1A2A3, l'autre donne le temps.