CHAPITRE XVIII
I. — Les extrémales attachées à un invariant intégral relatif-
184. Nous avons déjà vu au Chapitre I" (n° 9) que les équations différentielles des extrémales de l'intégrale
l=j F(?i. •••>g«;7i' qn;t)di
se confondent avec les équations caractéristiques de l'invariant intégral relatif / w, en posant
• -ii«..-(|.'i-F>'.
et où l'on regarde qi, ..., g„, q/, ..., q„', t comme an + i variables indépendantes.
Dans le Calcul des variations on regarde qi, ..., q„ comme des fonctions arbitraires de t, et q/, ..., </„' comme leurs dérivées. Dans l'espace à n H- i dimensions {qi, ..., (/„, t) toute extrémale jouit de la propriété que l'intégrale I, étendue à un arc déterminé de cette courbe, est stationnaire vis-à-vis des arcs de courbe infiniment voisins admettant la même origine et la même extrémité. Mais on peut aussi se placer dans un espace à an -h i dimensions (71» •• » 7n, 7i'i ••.. ?ri') t) : une courbe extrémale jouit alors de la propriété que l'intégrale I étendue à un arc déterminé de celte courbe est stationnaire vis-à-vis des courbes infiniment voisines pour lesquelles les valeurs initiales et les valeurs finales des seules coordonnées q^, ..., (/„, l, sont les mêmes que pour l'extrémale donnée. Si l'on se place à ce second point de vue, qi,...,qn sont des fonctions de t qui n'ont a priori aucun rapport avec les dérivées de Çi, ..., qn par rapport à t.
185. Plus généralement partons d'une forme différentielle linéaire w à 2/1 -t- I variables ; supposons la forme w' de rang an et supposons enfm que n des coefficients des différentielles dans w soient identiquement nuls. Nous pourrons donc poser
to = ai8xt -f- ajSxs -h ... -f- a„ôx,j — 68/.
les quantités a,, ..., o„, 6 étant des fonctions de 211 -+- i variables indépendantes a^i , . . . , a-,1, ji , . . . , j„, f .
Les caractéristiques de l'invariant intégral relatif w, ou, ce qui revient au même, de la forme quadratique extérieure w', sont données par un système d'équations différentielles ordinaires
\ ) di - ^'' dt - *"
en supposant, ce que nous ferons, que t n'est pas une intégrale première des équations caractéristiques.
Cela posé considérons dans l'espace à an -h i dimensions un arc de courbe allant du point Mo(a-j», yf», 1°) au point Mi{xi^, j,*, i') et l'intégrale
aidxi -h aidx2 -h ... — bdt.
Mo
Calculons la variation de cette intégrale quand on passe de l'arc de courbe considéré à un arc de courbe infiniment voisin allant du point {Xi'^ -h ôxj", J.° + Sji», /• -f- 8t°) au point {Xi^ + ScCiS jj* + Sj^*, t*- -+- ot^). Nous aurons
Si lious voulons que l'intégrale soit stationnaire vis-à-vis de tous les arcs de courbe infiniment voisins de l'arc de courbe donné, il faut qu'on ait, en se déplaçant sur l'arc de courbe donné,
quels que soient 8xi, 5j„ 81; autrement dit il faut que l'arc de courbe appartienne à une caractéristique de la forme w'. La valeur de l'intégrale sera stationnaire pour tous les arcs de courbe infiniment voisins pour lesquels a)§ sera nul à l'origine et à l'extrémité, c'est-à-dire pour lesquels Xi, ..., Xn, t auront les mêmes valeurs initiales et les mêmes valeurs finales que pour l'arc de courbe donné.
186. Supposons maintenant que nous restreignions le champ des courbes infinimeni voisines de la courbe donnée aux courbes pour lesquelles les fonctions Xi, j, de t satisfont aux n premières équations caractéristiques
Nous admettrons que les n fonctions Xi, ..., X„ sont indépendantes par rap-
l88 LEÇOISS SUR I,ES INVARIANTS INïÉGRAlJX
port à ji, ..., y„, ce qui permet de prendre pour les Xi des fonctions arbitraires de t. Nous supposerons enfin que les valeurs initiales et finales de a;,, .... Xn, t sont les mêmes pour les courbes variées que pour la courbe primitive. Dans ces conditions on a
SI
Il est facile de voir que dans w'(o, d) il n'y a aucun terme en Sy,, 5jj, ,.., 8j„. En effet le coefficient de Sji serait
— i dxi H dx2 -f- ... + -— dx„ dt;
ce coefficient s'annule nécessairement en tenant compte des équations caractéristiques (i), par suite en tenant compte des équations (2) ; il est donc nul quand on se déplace sur l'extrémale. Comme dans l'expression de 81, il
n'entre sous le signe / que Sa^i, ..., ox„, ot, les coefficients de 8x1, ..., àxn, 8t
doivent être nuls. Par suite les exlré maies sont données par les équations caractéristiques de w'.
