II. — Le principe de la moindre action de Maupertuis

187. Supposons que la fonction II d'Hamilton soit indépendante du temps. Considérons l'ensemble des mouvements pour lesquels la fonction H a une valeur constante donnée h. Les trajectoires correspondantes sont les

caractéristiques de l'invariant intégral linéaire / co, avec

o) = ^Pi^qi — hU, ou, ce qui revient au même, de l'invariant intégral / ni, avec

la forme ro ne diffère en effet de w que par une différentielle exacte. Cette forme m est construite avec an variables, liées par la relation

et n seulement des coefficients ne sont pas nuls. Les équations caractéristiques sont

^ ^9n — dpi — dp„ dpi bpn àqi dq„

Pai* suite, dans l'espace à 2/i — i diinenslons (7,, p,), les trajectoires sont

j Pidqt

p.Aqn,

soit qu'on considère toutes les courbes pour lesquelles les valeurs initiales et finales de g,, ..., q» sont données, soit qu'on considère seulement celles de ces courbes qui satisfont aux équations

dqi dqn m ^-fl

et, bien entendu, à la condition H =r:: li,

188. Plaçons-nous par exemple au second point de vue. Supposons que les fji soient les paramètres de position du système, les p, étant les composantes des quantités de mouvement. Si on désigne par 2T la force vive et qu'on la décompose en ses termes du second degré, du premier degré et de degré zéro en <//, ..., ([,' , on a

SuLstituons aux variables p, les variables q' . On a par bypothèse T2(7') --- '1^0 + U ^- /<,

V/Tai^./) 'jT^idg)