CT

Mi

Enfin

on

suppose qu'on a

Clq,

qn

v/T,(r/') v/To -{- U -h /t La quantité sous le signe / dans l'intégrale I est

Si donc on pose

2T = ^aijqi'q/ -+- 2 Vfc.^,' 4 2T0,

on arrive au théorème suivant, qui constitue le principe de la moindre action au sens de Mauperluis :

Les trajectoires sont les exirémales de l'intégrale

ji;s/<l + U + h) . yaudqdqj-\- yiidq>j

igO LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

vis-à-vis de toutes les trajectoires infiniment voisines assujetties à correspondre à la même position finale et à la même position finale du système et à satisfaire au théorème des forces vives H = h, avec une constante des forces vives donnée. On retrouve le principe sous sa forme classique lorsque ïj = Tq = o.

189- Exemple. — Dans le cas d'un point mobile libre rapporté à des axes fixes, les trajectoires sont les extrémales de l'intégrale

l \/a{V -h h)ds.

Si le point est rapporté à des axes tournant autour de oz avec une vitesse angulaire constante a, et si de plus le champ de forces, indépendant du temps, est entraîné avec les axes, on a

?T = m[{x' H- ayY + (y' — aa;)^ -4- z'^]

= m{x'^ H- j'2 -f- z''^) — 2ma(xy' — yx') -f ma^x^ + y-).

Pour un point de masse i, les trajectoires sont les extrémales de l'intégrale

\/a^(x^ + j2) -f- aU -i- a/idfs — a[xdy — ydx).