uie
La forme vu ne dépend plus que des variables r, r' et t, et l'une de ses équations caractéristiques est
dr dt='-
Il en résulte que si l'on se donne, comme conditions initiales, les valeurs Tq
et /p, et comme conditions finales les valeurs Tj et /,, le mouvement réel qui satisfait à ces conditions est celui qui rend stalionnaire l'intégrale
dt
vis-à-vis de tous les mouvements infiniment voisins satisfaisant aux mômes conditions aux limites et vérifiant la loi des aires avec la constante des aires G.
IV. — Application à la propagation de la lumière dans un milieu isotrope.
191. Considérons un milieu isotrope dont l'indice de réfraction n soit connu en chaque point. Le principe de Fermât conduit à définir les ra)ons lumineux comme les extrémales de l'intégrale
I nds= l n^dx^ H- dy' -\-dz^.
En introduisant une variable auxiliaire /, on est dans le cas d'une intégrale
F = n s/x'-' -i- y"' -h z'K L'invariant intégral linéaire relatif / w dont les rayons lumineux sont les
caractéristiques est déflni par la formule
qui devient ici
ôF . ôF . ôF , . , dF , , ôF , , ôF „. .,
'" • — î ôy H ,lz — {x —, H- y —, + 2 — , — F)û;,
ÔJ •' Ô2 ^ bX ^ dj Ô2 '
OU encore
10 = n(aox + pSy 4- yôz),
en désignant par 'x, [E, y ^gs cosinus directeurs d'une direction arbitraire. La forme w dépend donc en réalité de 5 variables. Il serait facile de former ses équations caractéristiques et de montrer qu'elles contiennent en particulier les équations
dx dy dz
192 LEÇONS SUR LES INVARIAINTS INTÉGRAUX
La direction (a, p, y) n'est évidemment autre que celle de la tangente au rayon lumineux considéré.
192. La propriété de / w d'être un invariant intégral relatif conduit à
cette propriété d'un pinceau de rayons lumineux que si l'on décrit une courbe
fermée (C) entourant le pinceau, l'intégrale / n cos 60s étendue à cette
courbe, où l'on a désigné par G l'angle de la tangente en un point M de (G) avec la tangente au rayon lumineux passant par M, est indépendante de la courbe (C) choisie. On peut démontrer facilement que la condition nécessaire et suffisante pour que les rayons d'une congruence soient tous normaux à une même surface est que cette intégrale soit nulle pour tout pinceau de rayons pris dans la congruence. Cela correspond au théorème de Malus d'après lequel les rayons d'une congruence normaux à une surface sont normaux à une infinité de surfaces. La condition pour qu'il en soit ainsi est que la forme quadratique extérieure 10' soit nulle, ou, d'une manière plus précise, que la forme bilinéaire alternée co'(S, ô') soit nulle quand on y considère ô comme le symbole de la différentiation par rapport à un des paramètres de la congruence, et 8' comme le symbole de la dilTérentiation par rapport à l'autre paramètre.
Les rayons lumineux qui se propagent dans le milieu considéré dépendent de quatre paramètres u^, w,, «3, «4. On^. appelle transfonnadon de Malus une transformation effectuée sur ces paramètres et changeant toute congruence de rayons normaux à une surface en une autre congruence de rayons normaux à une surface. La forme w' est, comme nous le savons, exprimable au moyen des m; et de leurs différentielles, La transformation la plus générale de Malus est manifestement définie par l'équation
w'(u', du') = W(u, du),
k étant une fonction inconnue. La dérivation extérieure des deux membres donne immédiatement
[dkw'] = o;
comme w' est de rang 4. cela n'est possible que si dk = o, c'est-à-dire si k est une consLanle. Par suite les transformations cherchées peuvent s'obtenir en exprimant que la forme linéaire
w(«', du') — ko)(a, du) est une différentielle exacte :
n{x\ y, z'){a'dx' -t- ^'dy' -+- -^'dz') = kn{x, y, z)(oidx -+- <^dy 4- ^dz) -f- dV.
Définissons par exemple un rayon lumineux par les coordonnées (a-o, jo) du point où il rencontre le plan des xy et les cosinus directeurs a,,, %^ y^ de sa tangente en ce point. On aura
n{Xo', Jo', o){a^'dxo' + .^o'^Jo') — ^""(^o- Jo' o){oi^dx, + %dyo) = d\.
LES INVARIANTS INTÉGRAUX ET LE CALCUL DES VARIATIONS IQS
i*"" Cas. — U n'y a aucune relation entre Xq\ Jq'» ^o^ Jo- Dans ce cas V est une fonction déterminée de a-^, y^, x^', jo', et on a
— kn{x„ y„ oK = ^ • — H^^' Jo> o)?o = |r^ '
n(Xo', Jo', oK = r77, "(a^o . Jo > o).V = ^Z-/'
Les deux premières équations donnent x^ et j^' ; les deux dernières donnent ensuite a^,' et p^.
2' Cas. — Il y a une relation et une seule entre x^, j,,, x^', y^'. Soit
F(^o' Jo ; ^0'' Jo') = o
cette relation. En désignant par V une fonction arbitraire de x^, Jo'^o'Jo'^t introduisant un paramètre auxiliaire X, on a
— /^'H^o. Jo. oK = ^ + ^^ ^ • — ^"(^0, Jo. o)?o = ^ + ^' ^' od.Q OJ.Q oy^ oy^
, , , . , ôY , ôF . / , ^o , ôV , ôF
«(^0 , Jo . 0)^0 = 7:r^ -<- ^> ^7^' "(^0 , Jo . o)Po = ï;^ -^ ^ ï;7-> •
Les deux premières de ces quatre équations, jointes à l'équation F = o, donnent x^', j^' et X ; les deux dernières donnent ensuite a^' et p^'.
3'' Cas. — a-^' et j^' son< des fonctions déterminées de a-^, Jq :
^0' = /(^o ' Jo) . Jo' = sf(^o . Jo) ;
Y est alors une fonction de Xq, y^ et on a
ôx„
"«, Jo'' o)(V ^ -^" P»' ^) = ^■"(''o. Jo, 0)^0
"(^0'. Jo'. 0)(V ~f -^ .V ^) = ^"(^0, Jo, O)?o + ^. équations qui déterminent a^' et ,S^'.
193. La forme w' est invariante et nous avons vu plus haut la propriété caractéristique des congruences de rayons pour lesquelles cette forme est
identiquement nulle. La forme invariante - to'^ a des applications en
Optique ; son expression développée est
- w'2 = n[on[arjX -H f-ôj H- yS^XSaSa: •+ S^Sj -f ^-^^z)]
— «''([S^SyôjSz] H- [8Y8a6zSa;] 4- [SaS^SxSj]).
Prenons par exemple tous les rayons lumineux qui traversent un élément de surface donné de et dont les tangentes, aux points de traversée, sont parallèles aux droites intérieures à un cône d'ouverture infiniment petite rfw. Les rayons considérés dépendent de quatre paramètres «1, u^, U3, U4. dont les deux premiers par exemple définissent la position du point de traversée de
E. CAaTAN. — Leçons sur les Invariants intégraux. i3
ig4 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX
l'élément da et les deux derniers l'orientation de la tangente en ce point. Prenons sur chaque rayon lumineux l'étal caractérisé par le point de traversée (x. Y, z) correspondant et les cosinus directeurs (a, j3, y) de la tangente en ce point. Les trois premières quantités x, j, z ne dépendant que de Ui et «2, toute forme cubique extérieure en 8x, Sj, Sz est nulle ; par suite l'invariant
- 0)'=* se réduit, au signe près, à
i w'* = ^''([S^SyS/ôz] ■+■ [ÔYÔotôzôic] + [5oiBpBx8y]).
Or l'on a, en désignant par X, ^i, v les cosinus directeurs de la normale à l'élément d'y,
[Sjôz] = ld<j, [oz8x] = iJ.d<j, [oxoy] = vda ; [ô^Sy] = °''^^> [Syôji] = pdio, [âao,6] = Y^iw; par suite
1 w'2 = n\la. + [ji^ + VY)dadw = n^ cos Odadw,
en désignant par 0 l'angle de la normale à la surface avec la direction (moyenne) des rayons lumineux qui traversent la surface.
Cela posé, si l'on considère un ensemble quelconque de rayons lumineux dépendant de quatre paramètres, on peut prendre sur chaque rayon le point où ce rayon perce une surface donnée (S) ; tous les rayons passant par ce
même point forment un cône solide et l'invariant intégral I - to'* relatif à l'ensemble donné peut être donné par la formule
l = j n^ cos Gdffdo),
da désignant l'élément de surface de S, di» l'ouverture d'un cône élémentaire de rayons partant d'un même point de S et faisant l'angle 0 avec la normale à S.
Prenons par exemple l'ensemble de tous les rayons lumineux qui traversent un volume limité par une surface fermée (S) et prenons chaque rayon au point où il sort du volume. On aura, pour cet ensemble,
I == / n^dG I cos edo).
Or l'intégrale / cos ôc?w, en prenant pour coordonnées la longitude 9 et la colatitude 0 sur la sphère de rayon 1 , est égale à
sin 0 cos M^df étendue à l'hémisphère o < 0 < - ; elle est donc égale à -. Par suite ou a
LES INVARIANTS INTÉGRAUX ET LE CALCUL DES VARIATIONS IQS
Si le milieu est d'indice i , les rayons sont rectilignes et l'intégrale 1 est égale au produit de l'aire de la surface par ir.
194. Comme application des méthodes d'intégration générales exposées dans le Chapitre XVI, proposons-nous de déterminer la marche des rayons lumineux, dans un milieu isotrope où l'indice de réfraction n ne dépend que d'une des coordonnées rectangulaires z. Ici on connaît la forme invariante w', ainsi que trois transformations infinitésimales correspondant à une translation parallèle à Ox, une translation parallèle à Oy et une rotation autour de 0; :
•' ôx' --^ dy '"^ dj -^ àx ôj3 '^ ôa
Comme ces trois transformations laissent invariante la forme w> = n(aox -+- l^oy + ySz), les trois formes invariantes linéaires to'(o, Aj) se réduisent à c;a)(Ai) = ô(na), 5a)(A2) = ^('l.S), 5io(A3) = ô[/i(pa; — ay)].
On a donc trois intégrales premières
na, n^, n{px — ay).
Posons
na = a, n^ = b, 6ai ^— ay = c ;
la dernière relation montre que tout rayon lumineux est dans un plan parallèle à Oz. On a ensuite
j = e/ax + 6j 4- I v^n^ — 0=" — b'^dz
Par suite on a, pour les trajectoires des rayons lumineux, ^=:a f ,__^L 4- a', y = b f , ^^ , -+- b'.
