APPLICATIONS

29. Représentation approchée des fonctions continues. — Le résultat qui précède permet de démontrer simplement un théorème de Weierstrass ('), comme l'ont remarqué MM. Lerch etVolterra.

Soit/(£) une fonction continue dans un intervalle fini (a, [3). Posons x = kt, k étant assez petit pour que x ne sorte pas de

( — 7i, -H 7t) quand t est dans (a, J3). Posons v(x)=f(-r) dans

(/ra, k fi) et définissons © en dehors de cet intervalle par la condition d'être continue partout et de période 2tc. Traçons la courbe représentant <p et, sur cette courbe, marquons les points correspondant aux valeurs o, x iy x 2 , . . ., x„= 2 7i de x, prises assez rapprochées pour que, dans (#/, .£/+<), l'oscillation de <p soit inférieure à e. Les points marqués sont les sommets d'un polygone représentant une fonction continue &(x) de période 2 7t. Cette fonction est une de celles pour lesquelles la convergence uniforme de la série de Fourier vient d'être démontrée. En prenant donc assez de termes dans la série de Fourier de ^, on peut représenter ty à moins de e. Quant au nombre de termes qu'il faut prendre, la méthode qui a servi à étudier la série de Fourier de d» pourrait nous l'indiquer. Laissons cela de côté; »i est représentée à moins de e par une suite finie de Fourier qui représente par suite o à moins de 2 e. Cette suite de Fourier peut être développée en série de Taylor uniformément convergente ; donc, en conservant assez de termes dans cette série, on a un polynôme représentant la suite à moins de e et par suite <p à moins de 3e. Remplaçons maintenante par kt nous voyons qu'une fonction continue peut être repré-

( l ) Au sujet de ce théorème voir le Chap. IV des Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements en séries de polynômes de M. E. Borek

THÉOHIK ÉLÉMENTAIRE DES SÉRIES DE FOUlUElt. 49

sentée, à moins de e près, par un polynôme ou par une suite finie de Fourier.

30. Principe de Dirichlet. — Je vais faire une application de ce résultai à la démonstration de théorèmes intimement liés à la théorie des séries trigonométriques. Je vais d'abord m'occuper d'un problème célèbre connu sous le nom de problème de Dirichlet et dont voici l'énoncé : démontrer l'existence d'une solution de l'équation

qui soit continue à l'intérieur d'un contour fermé C et qui se réduise sur ce contour à une fonction donnée /. Le principe de Dirichlet est l'affirmation de la possibilité du problème de Dirichlet. Le seul cas qui va être examiné est celui où G est une circonférence ( , ).

Faisons quelques remarques préliminaires. Si l'on pose z =x -|- iy, tout polynôme en z, décomposé en sa partie réelle et sa partie imaginaire, fournit deux polynômes en x et y qui satisfont à l'équation de Laplace AU = o, ce que l'on exprime en disant que ce sont des polynômes harmoniques. Si nous posons maintenant a?=/*cos©, y = r sin©, c'est-à-dire si nous passons aux coordonnées polaires, ces polynômes harmoniques se présentent sous la forme d'une suite finie de Fourier en cp, chaque terme en cos/?ç ou sin/jcp étant multiplié par rP. Réciproquement toute expression de la forme indiquée :

P = -a -h r(«i coso -+- 6 t sino)-f-. . .-f- r n (a n cos/icp -h b n sin/io)

est un polynôme harmonique parce que c'est évidemment la partie réelle d'un polynôme en z = re'?. '

Remarquons encore que P n'a ni maximum, ni minimum. En effet, on a évidemment (n° 16)

( l ) Pour la méthode classique, voir, par exemple, le Tome II du Traité d'Analyse de M. Picard.

5o CHAPITRE II.

à condition de donner à r une valeur constante positive quelconque dans l'intégrale. Cela prouve que, ou bien P(r, o) est toujours

égale à - a , ou bien P(/*, <p) prend des valeurs plus grandes que - a et des valeurs plus petites que - a et l'origine n'est ni un maximum

ni un minimum. Mais l'origine n'a rien qui la distingue d'un autre point : si l'on pose z = z -\- Z, l'origine devient le point quelconque — z et le point quelconque z = z devient la nouvelle origine Z = o; il est donc démontré qu'un polynôme harmonique n'a ni maximum, ni minimum.

Ceci posé, soit/(<p) une fonction continue de période 2îc, nous allons démontrer l'existence d'une fonction harmonique, c'està-dire satisfaisant à l'équation de Laplace, à l'intérieur de la circonférence z = e ( v et se réduisant à f(<p ) sur cette circonférence. Du même coup l'existence de la solution sera démontrée pour une circonférence quelconque.

Prenons des nombres positifs e 1? e 2 , ..., formant une série SS|= s convergente et soit (')

S/(«) = -aj'-f-(a5 coscp-h b[ sincp) -+-. . .-f- (a^cos/i/cp -h b l ni sinn/<p)

une suite de Fourier représentant partout /(cp) à moins de e- près, ce qui est possible parce que y a la période 27t. Posons

p=*i S*('*> ?)= ^ai-h^iaftcospy-hbjjsinp^rp.

La série

/(r,cp)=S 1 (r,cp)+[S 2 (r,cp)-S 1 (r,<p)]+[S3(r, ? )-S s (r,cp )] + ...

est uniformément convergente, car, d'après notre remarque, | S, — S/ + i | atteint son maximum sur C et, par suite, ne surpasse jamais e/+ e <+1 ; donc /(r, cp) est continue à l'intérieur de C et sur C. Elle se réduit évidemment à /(<p) sur C, il reste à faire voir que c'est une fonction harmonique.

(*) Dans ce numéro et le suivant les symboles aj,, b l p représentent des quantités affectées de deux indices et non pas des puissances !»»»•■. au contraire rP représente la puissance p iim * de r.

THEORIE ELEMENTAIRE DES SERIES DE FOURIER. 5l

Considérons les termes en cospx dans /"(/*, o); leurs coefficients forment la série

rP [a], -f- (al — a),) -+- (a* — a* ) -h. . . J ;

cette série est absolument convergente et de somme au plus égale à %zrP parce que a 1 — #£"*, étant un coefficient de la série de Fourier de S/ — S/ + i, est au plus égal, en valeur absolue, à 2(e/+ ej- +l ). Par conséquent, si dans/(r, o) nous remplaçons chaque terme S/— - S l+ i par la suite finie de Fourier qu'il représente, nous obtenons une série dont la somme des coefficients des sinus et cosinus est au plus

par suite, cette série est absolument convergente pourr<i, et nous pouvons grouper ensemble les termes contenant un même sinus ou un même cosinus. On obtient ainsi

f(r, ©)=—-+- /-(ai coscp -+- b\ sincp) -+- r*(a 2 cos2<p -+- b 2 slnio) -4-, . . ;

cette expression, qui n'est peut-être pas valable pour r= i , montre que /(/*, o) est la partie réelle d'une série entière en z = /e 1 ?, donc /(r, cp) satisfait à l'équation de Laplace à l intérieur Ae C. L'existence de la solution est démontrée. On peut remarquer que cette solution, étant limite de polynômes harmoniques, n'a ni maximum, ni minimum.