Intégrale de Poisson. — On a évidemment

a,, = lim a'j„ b p = lim b n p \

n = » n =. ; oo

mais

a", = - / S /t cos/?^ «fy, 6)i = - I S n sinpty <%

£t, comme S« tend uniformément vers /(<{>), on a i /- 2ir i r î7C

Portons ces valeurs dans l'expression de /(/*, ©), on trouve

/■ étant plus petit que i , on peut écrire

izf( /*, cp ) = / /( + ) - -+- rcos(4» — o) H- r* cos2(^ — ?)+... Iflty)

parce que la série sous le signe /, é Lan t uniformément convergente, est intégrable terme à terme. La formule précédente s'écrit encore sous la forme

J v ' 4 ' 27rJ i — 'ir cos(ty — ©)-+- r* '

connue sous le nom de formule ou d'intégrale de Poisson , parce que Poisson la fît connaître dans le XIX e Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique,

Le raisonnement de Poisson laissait à désirer au point de vue de la rigueur, M. A. Schvvarz a montré qu'il était facile de le rendre tout à fait rigoureux. M. Schwarz a étudié aussi ce que donne l'intégrale de Poisson dans le cas où /(x) a des points de discontinuité de première espèce. Pour avoir le droit de conclure, relativement à ce cas, il nous suffirait d'utiliser une remarque déjà faite, sur la possibilité de comparer deux points de discontinuité de première espèce quelconques (n° 1), et d'étudier l'intégrale de Poisson pour une fonction particulière ayant des points de discontinuité de première espèce ; il nous suffirait, par exemple, d'examiner si l'intégrale de Poisson peut servir à la représentation pour /• < i de la fonction harmonique

x — a arc tang -r (z = re 1 '? = x •+- iy\

qui a déjà été employée pour des fins analogues par M. A. Schvvarz (Gesamm. math. Abh., Bd. 2) et M. J. Riemann (Annales de V École Normale, 1888).

Ces considérations conduisent à une conséquence importante que M. Schwarz a signalée. Supposons que, pour une valeur <p , la série de Fourier de /(<p) soit convergente. D'après -un théorème d'Abel, appliqué à la série entière en /• qui représente /(/*, ©), f(o ) est la limite, quand /• tend vers i, de /(/*, <fo)- Mais l'étude qu'on vient de faire fournit des renseignements sury(r,<p ) lorsque f(o) est assez simple; de sorte qu'on peut dire, dans certains cas, à quoi est égale la somme de la série de Fourier, supposée convergente, def(o). Les résultats obtenus nous permettent de conclure pour le cas où /(©) est partout continue; en utilisant les indications données on pourra supposer quef(o) a des points de discontinuité de première espèce, d'où l'énoncé suivant :

Si la série de Fourier de la fonction f(&) bornée, de période arc, partout continue sauf en un nombre fini de points de discontinuité de première espèce, est convergente pour la valeur cp , sa somme est égale à ^[/(©o-H °) +/(?o — o)].

32. Propriété fondamentale des fonctions harmoniques. — Je ne pousserai pas plus loin l'étude de l'intégrale de Poisson et des fonctions harmoniques, relativement à laquelle on consultera avec profit les tomes I et II du Traité d y Analyse de M. Picard, mais je veux indiquer comment on pourra démontrer, avec la méthode employée ici (* ), que la formulé de Poisson fournit toutes les fonctions harmoniques continues ainsi que leurs dérivées des deux premiers ordres à condition qu'on l'applique à une circonférence convenable et, par suite, que les fonctions harmoniques n'ont ni maximum, ni minimum.

Pour cela, il suffira de prouver, par la méthode de M. Paraf (Ann. de la Fac. des Se. de Toulouse, t. VI), quVZ ne peut

(*) Cette méthode est en quelque sorte l'inverse de celle que M. Picard emploie, dans le tome I de son Traité d'Analyse, pour démontrer le théorème de Weierstrass qui nous a servi de point de départ. Hiemann avait peut-être prévu une méthode de ce genre; parlant d'un théorème équivalent au principe de Dirichlet pour le cas de la circonférence, il dit : « Si l'on admet ce théorème qui, en fait, est exact, alors la voie suivie par Cauchy (pour étudier la série de Fourier) conduit au but; de même que, réciproquement, ce théorème peut se déduire de la série de Fourier. » Neumann a essayé d'utiliser cette indication (Journal de Crelle, t. 71), mais ses raisonnements sont fort critiquables, comme Heine et Prym l'ont remarqué.

exister deux fonctions harmoniques, continues ainsi que leurs dérivées des deux premiers ordres à l'intérieur d'un contour ferméC, qui soient égales sur ce contour. Posons u = (a 2 — x 2 )v, la quantité a 2 — x 2 étant positive dans la région considérée. L'équation de Laplace devient

A/j = (<7 2 — x*) Ar -- >.x iv = o.

dx

S'il existait deux fonctions u remplissant les conditions indiquées, il existerait deux fonctions r satisfaisant à cette équation, et leur différence, que je désigne encore par v, satisferait aussi à cette équation. D'ailleurs v s'annulerait surC sans être identiquement nulle à l'intérieur de C, donc v aurait à l'intérieur de C un maximum positif ou un minimum négatif. On va voir que cela est impossible. Supposons que v ait un maximum positif au point x , y ; alors on a

v(xo,y 9 ) >o,

r(*, y ) ~ «>(>o, yo) = -i \dï*) lYm - °'

ç étant compris entre x et x , y\ entre y ely .

Ces relations montrent que les deux termes de \v sont négatifs ou nuls au voisinage de x K \,y<s, donc que le premier terme de l'équation de Laplace transformée est nul ou négatif en ce point. Le second terme de cette équation est nul, le troisième est négatif et non nul; c'est la contradiction annoncée.