Cas de convergence des séries de Fourier. — Considérons

une fonction y continue de o à 27t et ayant une dérivée à variation bornée. Alors l'intégration par parties donne

a n =- ! fcosnxdx = / f's'winxdx,

. i r™ , . , /(h-o) — f(ïTz-o) i r™ f , ,

à,, = - I fsinnxdx = - ■ -h / fcosnxdx.

De la série de Fourier de/ soustrayons la série S(x)

La série restante R(#) est uniformément convergente partout,

puisque ses coefficients sont de Tordre de — • La série soustraite

est, d'après le n u 26, uniformément convergente, sauf autour des valeurs congrues à zéro. Donc la série de Fourier de / est uniformément convergente dans tout intervalle intérieur à (o, 2ir); elle représente donc /partout, sauf peut-être pour x = o. En ce point, la série S est convergente et de somme zéro, la série R partout convergente a une certaine somme K; d'ailleurs, puisque, pour x non congru à zéro, on a

/(*) = S(*)-+-R(*), et, puisque R est continue au point zéro, on en déduit

/(+o) = S(+o) + K, /(— oi = S(— o)-+-K.

Remarquons encore que S(+o) + S( — o) = o, puisque S(x) est une fonction impaire, et nous obtiendrons

S(+o) = ^- HO) - /< - ', K = *+ 0) +S<- l

Donc, au point zéro, la série de Fourier de /converge vers la demi-somme des valeurs /(-+- o), /( — o) ( * ).

On ramènerait par un changement de variable, au cas qui vient

( l ) La série > est un exemple de série non uniformément convergente.

d'être étudié, celui d'une fonction satisfaisant d'ailleurs à toutes les conditions indiquées et qui n'aurait, comme valeurs de discontinuités, que les valeurs congrues à x . Supposons maintenant que f satisfaisant par ailleurs aux conditions indiquées, ait pour valeurs de discontinuité les valeurs congrues à x { , x 2 , ..., x p en nombre fini.

Posons, sauf peut-être aux points de discontinuité,

/= ? — f\ [/(*i H- o) — /(an — o)J — . . . —f p [/(afp+o) -f(*f>— o)], cp étant continue et fi désignant une fonction de période iiz égale, de Xi à Xi -h 2 tu, à — (x — xA et à - pour x = Xi. Il est évident que cp elf sont représentables par leur série de Fourier, donc :

Si l'intervalle (o, 2tc) peut être partagé en un nombre fini a" intervalles partiels dans chacun desquels la fonction f admet une dérivée à variation bornée, la série de Fourier de f est partout convergente. Elle converge uniformément vers f dans tout intervalle ne contenant aucun point de discontinuité def; en un point de discontinuité la série tend vers la moyenne arithmétique des valeurs vers lesquelles f tend quand la variable s } approche du point de discontinuité.

La méthode qui nous a fourni ces résultats ne diffère que par de petits détails de celle que vient d'employer M. Kneser pour l'étude <les séries trigonométriques et d'autres développements spéciaux fournis par la Physique mathématique (').

Il n'est pas difficile d'étendre quelque peu le résultat obtenu, mais il semble que, pour appliquer la méthode qui nous a servi à l'étude de cas plus généraux de convergence, il faudrait reprendre tout d'abord l'étude de la convergence, d'une série trigonométrique donnée parla suite de ses coefficients. L'étude directe des séries trigonométriques, qui a été très négligée jusqu'ici, semble d'ailleurs

(') Voir Untersuehungen iiber die Darstellung wlllkûr lichen Funktionen in der mathemntischen Physik {Math. Ann., Bd. LVIII, 1904). Je venais d'exposer au Collège «le France les considérations du texte quand j'ai eu connaissance du Mémoire de M. Kneser paru depuis quelque temps déjà. La méthode qu'emploie M. Kneser, pour démontrer qu'une série de Fourier détermine la fonction à laquelle elle correspond, est différente de celle qui a été utilisée ici.

devoir être très utile dans bien d'autres parties de la théorie des séries de Fourier. 11 y aurait lieu aussi d'étudier davantage la suite des coefficients d'une série de Fourier, relativement à laquelle je démontrerai plus loin un théorème fondamental dû à Riemann (n° 34).