Recherche sur la. convergence

33. Caractère de convergence des séries de Fourier. — Désignons par S/i la somme des n -h i premiers termes de la série de Fourier de f(x)\ on a

i v^ r r trz+ *

H — > cospx I /(8)cos/>6 d0

-4- sin/?a? / /f 9 ) sin /> 6 rfô

= ^ X'^'/ce) ^ -,- 2 co S/ ,(^ - 0)J

.2TC+0C sin('2/t-M)

«isin

Faisons le changement de variable 8 = x H- 2t] nous aurons S »=iJ 8 — 4ïiT7 /<* + *'>*,

et, en prenant [3 = — ^,

i T /*° sin(^/i -h \)t .. .

« «/ w sin*

I /** sin(a/i -+- i)* r -, ., .

= ïï j[ rin* [/( * "*" a/) " + " /( ' r " * 0] dt "

comme on le voit en changeant t en — t dans la première intégrale du second membre.

Si nous appliquions cette formule à la fonction F qui est constante et partout égale à la valeur f{x) que prend notre fonction/ pour la valeur particulière x que nous considérons, S 7/ serait évidemment égale à f(x), puisque la série de Fourier de F se réduirait à son premier terme; d'où la formule, facile à vérifier directement,

TZ

Pour la somme S„ relative à la fonction /, nous avons

Représentons cette quantité par R 7I et posons

©(*) =/(a? -+- *t) -hf(ar — 2t) — -xf(x) = ty(t) sin t, de sorte que, avec nos notations, nous avons

R„= f * in(tin ~*~ })t o(t)dt= f sm(*n-hï)tty{t)dt.

Il va nous suffire de rechercher des cas où R„ tend vers zéro

avec- pour avoir des cas de convergence de la série vers f{oc)\

dans ces cas, la signification de R„ sera évidente : R w sera, au facteur iz près, le reste de la série de Fourier, quand on s'arrête au (n-Hi) ième terme.

Avant de faire cette recherche, remarquons que f{x) n'étant assujetti qu'à avoir une intégrale et à admettre 2tt pour période,

ty{t) ne sera assujettie dans (o, - ) qu'à la condition d'avoir une

intégrale dans tout intervalle n'ayant pas o pour origine.

Pour donner des exemples des circonstances qui peuvent se présenter, il nous suffira donc de citer des fonctions ^ assujetties à la condition que je viens d'indiquer et pour lesquelles ces circonstances se présentent.

Remarquons encore que, si x est un point de continuité ou un point régulier de /(n° 2), ç(f) est continue pour t = o etcp(o) = o; cela veut dire que lty(t) tendra alors vers zéro en même temps que t.

Nous avons

ty(t) sin(2/i -t- \)tdt.

Examinons d'abord cette dernière intégrale que l'on appellera e„; elle est évidemment inférieure en valeur absolue à l'intégrale de | •}(*)!, prise de n- à -\. donc elle .tend vers zéro

avec -y à cause de la continuité des intégrales indéfinies (n° 11),

parce que | A(/) | a une intégrale autour de -•

Dans les intégrales correspondant aux valeurs /? = 2, 4> G, . . ., changeons t en t H : cela transforme chacune de ces inté-

grales en une intégrale prise entre les mêmes limites que celle

58 CIIAPITHE III.

qui la précède, à laquelle nous la réunirons; nous obtenons ainsi

dt

,,=s nf + n—.

dans cette formule, 5 désigne le plus grand entier ne surpassant

pas — ■ — , t n désigne o si n est impair et / ù(t) sintdt

si n est pair. Il est évident que z lt tend vers zéro avec — de même

que e„.

Comme on a

(î^+Ds

il en résulte

\dt

<|/(*)sin(2/i-i-i)£<

f[ |+<'>- + ('- t -ïSTl)|*- 4 -l , -l- , -l*'»l-

Pour étudier la première intégrale, admettons que l'intégrale indéfinie

|<fr

ait une dérivée nulle pour t = o; ce qui est réalisé en particulier

toutes les fois que cp est continue et nulle à l'origine, donc en tous les points réguliers de f.

Nous avons

I ù(t)sin(9.n-hi)tdt = / ?A-f sin(in-h \)tdt

o «/o sin '

% t étant une quantité qui tend vers zéro avec -> puisque c'est une valeur approchée de la dérivée $'(o).

Nous pouvons maintenant conclure :

La série de Fourier converge au point x vers la fonction si l'intégrale de |'f(*)l a une dérivée nulle pour t = o et si la quantité

j l4,(* + 3)4,(o|€fc (°< ô <^)

tend vers zéro avec o.

34. Théorèmes de liiemann. — La quantité |A(£-h8) — <K0I> intégrée deaà- (o<a< -)j tend vers zéro avec S, puisque,

dans (a, - \, à a une intégrale (n° 13); on peut, par conséquent, remplacer dans la condition de convergence qui précède

f |<j,(*-4-8) — ty(t)\dt par f \ty(t + l) — ty(t)\dt.

Cette remarque conduit à un théorème important dû à Riemann. Soient deux fonctions f { et / 2 , ayant des séries de Fourier, et égales entre elles autour du point x. Les fonctions cp et ^ correspondant à la différence f K — f 2 sont nulles pour t assez petit, par suite <ï> est nulle autour de t = o et pour a et 8 assez petits

60 CHA1MTHK III.

est aussi nulle. C'est dire que la série de Fourier de f K — /•> est convergente pour la valeur x; par suite, les séries de Fourier de/*, et de f 2 sont convergentes ou divergentes à la fois; c'est le théorème de Riemann :

La convergence de la série de Fourier de f pour une valeur déterminée de x ne dépend que de la manière dont se comporte f autour de cette valeur x.

Cette propriété peut se déduire de notre raisonnement d'une autre manière. Ce qui nous a obligé à étudier à part la contribution de l'intervalle (o, ■ — - — j dans l'intégrale R„, c'est que & n'a peut-être pas d'intégrale dans cet intervalle. Quand on suppose que A a une intégrale dans (o, ■ — - — J, on peut traiter cet intervalle comme les autres, ou encore on peut affirmer que la contribution de cet intervalle tend vers zéro quand n croît, car on a

<K0sin(2/i-hi)*rf/ =/ \ty(t)\dt\

et le second membre tend vers zéro quand n croît, puisque l'intégrale indéfinie de | ty(t) | existe, et par suite est continue. D'autre part, dans l'hypothèse considérée, on peut écrire

f |<K*-+-8) — «KO|<fc£ f |<K*-h3)-<K0I«"i

le second membre tendant vers zéro avec 8.

Donc, si *b a une intégrale dans (o, )>

J| ty(t)s\n(in-î-i)tdt o

tend vers zéro avec - • Qu'y aurait-il de changé si l'on étudiait la

même intégrale étendue de a à 6, au lieu de o à -> à ayant une intégrale dans (a, 6)?

SERIES DK FOL HIER CONYKRCENTES. 6l

Tous nos raisonnements s'appliqueraient; seulement on aurait en général deux termes de forme irrégulière, analogues à celui qui a été désigné par e„, l'un fourni par le commencement de (a, 6), l'autre par la fin. Il n'y aurait encore rien d'essentiel à modifier s'il s'agissait d'étudier l'intégrale de ^(t)sinnt, ou celle de *l(t)cosnt, au lieu d'étudier l'intégrale de 'l(t) sin(2/i -H i). De là résulte un autre théorème de Riemann :

Si ta fonction ty a une intégrale dans («, 6), les intégrales

/ty(t)cosntdt, ! <l(t)s\nntdt

tendent vers zéro avec - > et, en particulier :

La suite des coefficients d'une série de Fourier converge toujours vers zéro.

Riemann a démontré ce théorème pour les séries de Fourier relatives aux fonctions auxquelles sa définition permet d'attacher une intégrale ; la démonstration donnée ici s'applique à toutes les séries de Fourier des fonctions sommables. Le théorème n'est pas nécessairement exact pour les séries de Fourier généralisées (n° 19) ; Riemann l'a montré par un exemple au paragraphe XIII de son Mémoire. C'est pour cela que la méthode employée ici pour étudier la convergence des séries de Fourier ne paraît pas pouvoir servir pour l'étude des séries de Fourier généralisées.

Du second théorème énoncé, celui qui a été donné le premier se déduit immédiatement. Reprenons les fonctions f K et /.> ; les fonctions A t et 6-> correspondantes sont identiques dans un certain intervalle (o, a); alors, dans chacun des restes correspondants R|,«, R 2?w , la contribution de l'intervalle (o, a) est la même et la contribution

Jf ty l (t)sin(AFi-t-i)tdt ou / tyt(t)s\n('in -+- \)tdt

de l'intervalle (a, * \ tend vers zéro avec -• C'est dire que R, ?/?

et R 2 ,« tendent ou ne tendent pas en même temps vers zéro, d'où le théorème énoncé.

3o. Les deux espèces de conditions de convergence. — Ce théorème de Riemann prouve que, pour la convergence de la série de Fourier de /, au point x il est nécessaire que f possède une certaine propriété en ce point; il n'est pas nécessaire que y possède une certaine propriété dans tout un intervalle.

La condition de convergence qui vient d'être énoncée ne fait intervenir qu'une propriété au point x\ les conditions énoncées au Chapitre précédent faisaient intervenir des propriétés relatives aux intervalles. Aussi ces conditions étaient-elles, en réalité, des conditions de convergence uniforme.

M. P. Fatou (') a remarqué que, de toutes les conditions de convergence en un point actuellement connues, on pouvait déduire des conditions de convergence uniforme en supposant que les conditions de convergence en un point soient remplies uniformément dans tout un intervalle; le sens précis du mot uniformément étant facile à fixer dans chaque cas. Pour la condition de convergence en un point précédemment trouvée la remarque de M. Fatou s'applique aisément. D'après la signification de R„, il faut, pour la convergence uniforme dans un intervalle où f est continue, que R„ tende uniformément vers zéro; il suffit pour cela (n° 33) que la somme

> dt

f ty(t)sin(in + i)/<

+ /1 |*(<'-*(<+.j7rPï)h+i<"l+Ki

tende uniformément vers zéro.

D'abord | e n | tend uniformément vers zéro ; on a, en effet,

\**\îf \*<t)\dt<% f \?(t)\dt;

la première inégalité a été obtenue au n° 33, la seconde résulte de

(*) Société Math, de France, séance du 18 mai 1905.

ce que sin£ surpasse - au voisinage de -• Or, le troisième membre

tend uniformément vers zéro, car on a, o>(l) désignant le maximum de l'oscillation de l'intégrale indéfinie de \f\ dans un intervalle quelconque d'étendue 2/,

f^ \ ff (t)\di< f" + \f(x + 2t)\dt

Xa + l ~a+l

\f(x — it)dt\-+-i I \f(x)\dxïiu>(l).

Un raisonnement semblable s'applique à | e n \. On a vu, d'autre part, que l'on a, quand f est continue dans un intervalle qui contient x,

ty(t) sin{in-^-i)tdt

6* étant une valeur que prend <p dans ( o, ; j ; donc l'intégrale

du premier membre tend uniformément vers zéro dans tout intervalle complètement intérieur à l'intervalle de continuité considéré. Donc :

La série de Fourier d 'une fonction f continue dans («, è), est uniformément convergente dans (a,, 6<), (a<«i <6, <è), si V intégrale

j |<K*-h8)-<KOI*,

qui est une fonction de S et de x, tend uniformément vers zéro avec S, quel que soit x dans (a,, b K ),

On va voir, dans un instant, que l'on peut remplacer la limite -supérieure d'intégration - par a, avec la condition o < a < - •