Transformations des conditions de convergence. — Posons

dans les deux cohditions de convergence obtenues, on peut

64 CIIAP1TRK 111.

remplacer

par l'une des quantités

lx(' + *)-X(OI,

y (<-f-8)-y(/) sint

On va légitimer seulement les deux premières transformations. Pour cela, il suffira évidemment de poser

et de prouver que / \K(o)\dt et I | S (8) | dt tendent vers zéro

avec t\ et cela uniformément, quel que soit x dans tout intervalle complètement intérieur à un intervalle de continuité de ./(x) (*) :

sinl

Ç étant la valeur de la dérivée de — - pour une valeur £ = t prise dans (t, £-ho). Comme on a

i f d sinA .. tcost — sin x i

lim - ( —. ) = lim = — - ;

on pourra choisir A, indépendamment de x, de manière que, dans (8, a), | Ç | ne surpasse pas Ax. Mais on a

donc

|H(ô)|<.2A8| ? (Ol s -j^;

de cette formule on déduit

f \R(Z)\dt<*kB f \v(t)\dt$Skàf \f(x)\dx<

( ') Le nombre a est toujours tel que Ton ait o<a< -; avec certaines expressions des conditions de convergence on peut prendre a Quelconque positif.

et la première transformation est légitimée. Pour la seconde, on a

s < 8 > = »<< + *>, 7ÏTS' d'où

fVw-itfjfU*.

Intégrons par parties; en conservant toujours les mêmes notations (n° 33), nous avons

Puisque nous supposons <£'(o):=o, les deux premiers termes tendent vers zéro avec o. La convergence est d'ailleurs uniforme; ceci résulte, pour le premier terme, de ce que <ï>(a + 8) est bornée, quels que soient x, a et 3; pour le deuxième, de ce

que t; <ï> (28) est au plus égal à quatre fois l'oscillation maximum

de / dans un intervalle d'étendue 4 2, pris dans (a, b); reste le troisième terme. L'ordre de grandeur de ce terme est le même que

celui de 8 / — dt, [3 étant choisi positif quelconque. Or on

peut prendre j3 assez petit pour que l'on ait, dans (0, j3),

s étant positif arbitrairement choisi. Alors on a

La seconde transformation de la condition de convergence en un point est ainsi justifiée. Pour que la même transformation soit justifiée pour la condilion de convergence uniforme il suffit de remarquer que le choix de [3, correspondant à s, peut être fait indé-

— — - t — - dt tend unifor-

mément vers zéro. Or cela résulte de l'inégalité évidente

II n'a pas encore été démontré que, dans la condition de convergence uniforme, on pouvait remplacer l'intégrale de o à - par la

même intégrale prise de o à a. Pour montrer que cela est possible il nous suffira, d'après ce qui précède, de montrer que

tend uniformément vers o avec 3. Or cela résulte de l'inégalité évidente

J f' lf(^») < -T(0l^ ,.^ Y |?(t + >) T(0|<ft

\ f l/(*-t-a3)-/(*)|«fa-.

37. Condition de M. Dini. — 11 a été démontré incidemment au n° 34 que S„ tendait vers zéro quand »} avait une intégrale de o à - , donc la série de Fourier de /est convergente au point x si if {t) a une intégrale dans ( o, '- ) . 11 est évident que A et y ont ou n'ont pas, en même temps, une intégrale dans ( o, — j; on

peut donc remplacer <!> par y dans l'énoncé précédent. Si l'on se reporte à la définition de y on pourra dire, en particulier, que fa

I fi x ^i\ f(x)\

série de Fourier de /converge au point x si I— - — — — h

a une intégrale dans tout intervalle.

Ces conditions de convergence ont été données par M. Dini pour le cas particulier des fonctions intégrables au sens de Riemann( l ). On pourrait démontrer facilement qu'elles rentrent comme cas particuliers dans l'énoncé du n° 33; on pourrait aussi en déduire une condition de convergence uniforme. Je laisse tout cela de côté pour donner les énoncés plus particuliers que celui de M. Dini.

( l ) Série di Fourier e rappresentazioni analiticke délie funzioni di una va- Habile reale, Pise, 1880.

Nous obtiendrons de tels énoncés en appliquant à |<J;|, |yj ou à f(x + t)-f(x)\

des critères connus de convergence des intégrales ; ceux de Cauchy et de Bertrand, par exemple. Bornons-nous aux premiers ; on voit alors, en particulier, que, si l'on a

où M et 6 sont des nombres positifs constants quelconques, la série de Fourier de f est convergente au point x parce que le

critère de Cauchy s applique a — — — — - •

Cette condition de convergence est souvent désignée sous le nom de condition de Lipschitz bien que Lipschitz n'ait énoncé qu'une condition assez différente qui est une condition de convergence uniforme; on la rencontrera plus loin (n° 39).

Un énoncé plus particulier encore est relatif au cas où 8= u

Alors — j — étant borné, /a ses nombres dérivés bornés

au point x. La série de Fourier de f est convergente au point x

si, en ce point, fa des nombres dérivés bornés et en particulier

si, en ce point, f a une dérivée déterminée et finie.

Nous aurions eu des énoncés plus généraux en opérant sur ty ou y

v ai > f(&-*-t) — f(x) au lieu d opérer sur — — ^-— ' •

38. Exemples de fonctions développables en série de Fourier. — Voici des exemples qui montreront quelques-unes des singularités que peut présenter la somme d'une série de Fourier. Prenons f(x) telle que

f(x) = i pour -£>*>£- (/> = o, i 7 2, ...),

/(*)=-! POUV -^- >X> ^L- i (p = 0, 1,2, ...).

La série de Fourier def(x) est partout convergente parce que, quel que soit x, cp(j) est nulle pour t assez petit. Cependant f(x)

présente des points de discontinuité de première espèce : les

points 7r, -, — y • • • > qui sont des points réguliers. L'origine est un

point de discontinuité de seconde espèce.

Changeons f(x) dans les intervalles où sa valeur était ± i de

manière qu'elle devienne égale à ^=^ là où elle était égale à i et

yj\x\

à == là où elle égalait — i ( — ts < # < -h t:). \/{ x ) I a une

intégrale, f{x) a une série de Fourier et, comme o(t) a toujours une dérivée pour t = o, cette série de Fourier converge partout vers f(x). La fonction f{x) présente les mêmes singularités que précédemment et de plus elle est non bornée.

Voici maintenant un exemple de fonction non intégrable au sens de Riemann et cependant représentée partout par sa série de Fourier. Il nous suffira de définir cette fonction /" dans (o, 2ir). Nous supposons marqué dans (o, 2tz) un ensemble fermé E, donto et in font partie, de mesure non nulle. La fonction f{x) aura les points de E pour points de discontinuité, elle ne sera donc pas intégrable dans (o, air) par la méthode de Riemann.

Soit, d'autre part, une fonction u{t) continue et bornée dans (3, ce) qui a partout des dérivées premières et secondes et telle que rs'(t) ne s'annule que pour les valeurs entières de £, pour lesquelles on a

Soit («, b) un intervalle contigu à E, c'est-à-dire un intervalle dont les extrémités appartiennent à E et qui ne contient pas d'autre point de E. Nous supposons E tel que tous les intervalles (a, b)

soient de longueur inférieure à ^- Nous prendrons

de a jusqu'à la plus grande valeur a-\-c qui ne surpasse pas —

et pour laquelle cette dérivée s'annule. De a-hc à b — c on prendra f= o; de b — c à b on prendra

Il esl évident que sî *&'(/) ne tend vers aucune limite quand t croît, /admet tous les points de E pour points de discontinuité de seconde espèce; d'ailleurs, en prenant /=o pour les points de E, / est bornée si tïj' est bornée, ce que nous supposerons ( f ); alors/ a une série de Fourier.

Cette série de Fourier converge vers /en tous les points qui ne font pas partie de E, parce qu'en ces points f{x) a une dérivée.

If(x) J — a une intégrale. Soient X ^- Xq

(a, b) un intervalle contigu àE, c le nombre précédemment défini, et supposons a^x . On a x — x^>x — a dans (a, a-\- c), x — #0 > x — a> b — x dans (b — c, 6), donc

'IML

( X — Xq I

J a \x — x \ J li c \x — x a J n x — a

La démonstration serait la même si l'on avait b^x t . On a

car m est une fonction positive, rs est inférieure à i, donc

Soit y le plus grand entier non supérieur à -> on a

< V \^(n-hi) — w(n)\ yi j i

( l ) Les conclusions resteraient exactes sans cette supposition; voir mon Mémoire des Annales de V École Normale; octobre 1903.

Comme y est au moins égal à 3, car c est au plus égal à •*>

est au plus égal à — '— , donc inférieur à 2C.

L'intégrale de __ - dans (a, 6) est donc inférieure à 8c et

par suite inférieure à 4(6 — ci) ; donc l'intégrale de -£^p-

pnse

de o à 27î est inférieure à 8*c. Comme on a f(x ) = o, on voit que la condition de M. Dini est remplie au point x , la série de Fourier de f converge donc partout vers f ( ' ).

39. Condition de Lipschitz-Dini. — Les conditions de convergence qu'on va trouver sont surtout intéressantes comme conditions de convergence uniforme. Supposons o(t) continue et désignons par A ( S ) le maximum de | ? ( ' H- 8 ) — ? ( I > a l° rs on a

^" l ? ( < -,8)- y (0[ <ft , A(8) ^'^ =A(8Ka A(5)W .

Il suffit donc que A (8) £(8) tende vers zéro avec 8 pour qu'il y ait convergence. On énonce généralement ce résultat pour le cas où f(x) vérifie la condition analogue ; d'où ce théorème :

Sif(x) est convergente dans un intervalle (a, 6), à i } intérieur duquel \ [f(x -1-8) — /(&)] • -Cp | tend uniformément vers zéro avec 8, la série de Fourier de f converge uniformément dans tout intervalle (a,, 6, ) complètement intérieur à (a, b).

Cette propriété résulte des raisonnemeuts de Lipschitz (Journal de C relie, t. 63) très différents de ceux du texte; mais Lipschitz n'avait conclu que pour le cas plus particulier où l'on a, dans tout un intervalle,

|/(*-h8)-/(ar;|<M** f

(») La fonction f(x) du texte n'est pas entièrement déterminée; pour qu'elle le soit, il faudrait nommer un ensemble E et une fonction gj satisfaisant aux conditions indiquées; cela ne présente pas de difficultés. Dans tous les cas/ est une fonction dérivée non intégrable au sens de Hiemann; si l'on remplaçait, dans la définition de /, cj(* ) par sin*, on aurait la première fonction dérivée non intégrable, au sens de Riemann, qui a été construite; elle est due à M. Vollerra [Sui principii del Calcolo intégrale (Giornale de Battaglini, 1881)].

M et a étant positifs. Lipschitz énonçait ainsi une condition de convergence uniforme qui correspond à la condition de convergence en un point énoncée au n° 37. C'est M. Dini qui a remarqué le premier que le raisonnement de Lipschitz conduisait à une conclusion plus étendue (Sopra la série di Fourier, Pise, 1872).

40. Condition de M. Jordan et condition de Dirichlet. — Pour arriver à ces conditions, je vais énoncer quelques théorèmes intermédiaires.

La série de Fourier de f est convergente au point régulier x, si Vune des fonctions y(t) outy(t) est monotone dans (o, a) (n° 3). Supposons, par exemple, y décroissante, alors

X(«)A- / X(t)dt.

Les deux intégrales du troisième membre tendent évidemment vers zéro, car on a

/ X (OA SaL, / x(t)dt H 1 - |?(OI<J';

L, qui désigne la limite supérieure de j ©| dans (8, 28), tend vers zéro puisqu'il s'agit d'un point régulier, pour lequel, par conséquent, ©(*) est nulle et continue pour t = o.

Si la condition supposée était remplie dans tout un intervalle (a i? 6 f ) complètement intérieur à l'intervalle de continuité (a, 6),

on serait assuré de la convergence uniforme dans (a tJ b t ).

On peut encore affirmer la convergence de la série de Fourier au point x lorsque y est la différence de deux fonctions monotones y^ % et y 2 telles que cp, = £y,, © 2 = t/ :1 tendent vers zéro avec t . Lorsqu'il en est ainsi y est à variation bornée dans (t, a), / yé. o, nous allons calculer l'ordre de grandeur de sa variation totale v(i).

Si les fonctions yj et y 2 so nt décroissantes, on a

X(«) — X(0 = [XiCO-Xt(«)]-[Xi(0-Xi(*)l.

yi CHAPITRE III.

et, comme les quantités entre crochels sont positives, il en résulte

X«(0-Xi(«)â/HOi Xi<0 — 7j(«)è*(0>

p(t) et n(t) étant les variations totales positives et négatives de y(/) dans (/, a) (n° 4). Puisque v(t) =p(t) + n(t), il est évident que t v(t) tend vers zéro avec t.

Réciproquement, si t v(t) tend vers zéro avec /, il en sera de même de tp(t) de t n(t) et aussi de ty y (/), ty 2 (l) si Ton prend

Xt(0 = x(*) + lz(«)l ■+■«!( 0. y.i(0-=lx<*)l +/>«).

Ainsi : la série de Fouricr converge au point x vers la fonction s 7 il est possible de trouver a> o tel que, quelque soit t ^éo dans (o, a), y(t) ou ù(t) soit à variation bornée dans (*, a), la variation totale correspondante v(t) croissant assez lentement

avec j pour que t v(t) tende vers zéro avec t.

et une inégalité analogue pourL 2 . Donc, en utilisant les inégalités écrites au commencement de ce numéro, on voit que, si la condition précédente est remplie dans (a { , 6|), intérieur à l'intervalle de continuité («, 6), et si tv(t) tend uniformément vers zéro, la convergence de la série de Fourier est uniforme dans («<, 6|).

Soit enfin o(t) continue à l'origine et à variation bornée, soit v(t) sa variation totale dans (o, t); v (t) est continue et nulle pour t = o. La variation totale v(t) de o dans (/, (5) (o < t < (3< a) est v($) — t>(0> donc celle de y, qu'on notera V(£), dans (t, cl) =.(*, p) + (p, a), satisfait à l'inégalité (n° 4)

V(OgjKP)-^(OH-|?(P)|]H-jK«)-«'(P)+!T(«)|].

Avec cette formule on reconnaît que t V(t) tend vers zéro avec tj puisqu'on peut prendre [3 tel que ^(P) + |o(p) ] soit aussi petit que l'on veut ; lorsqu'il est possible de choisir (3 indépendamment de x 7 tV (t) tend uniformément vers zéro. De là un carac-

1ère de convergence en un point que je n'énonce pas et le caractère de convergence uniforme bien connu qu'on doit à M. Jordan (').

La série de Fourier d'une fonction f converge vers la fonction en tous les points de continuité et en tous les points réguliers d'un intervalle (A, B) où f est à variation bornée; la convergence est uniforme dans tout intervalle {a ,, &,) complètement intérieur à un intervalle de continuité (#, &), intérieur lui-même à (A, B).

Cette condition de convergence contient comme cas particulier la célèbre condition due à Dirichlet, la première qui fut connue ( -).

La série de Fourier d'une fonction f satisfaisant aux conditions énoncées au /i°,3 sous le nom de conditions de Dirichlet, converge vers la fonction en tous ses points réguliers et cela uniformément dans tout intervalle complètement intérieur à un intervalle de continuité.

Au n° 3 il est dit en particulier que la fonction / est bornée ; on renonce parfois à cette restriction pourvu que |/*|ait une intégrale. Rien dans nos raisonnements ne supposant qu'il s'agisse d'une fonction bornée, la conclusion indiquée reste exacte pour ces fonctions non bornées satisfaisant aux conditions de Dirichlet.

Dirichlet énonçait cette condition :/n'a qu'un nombre fini de points de discontinuité. Cette condition lui était indispensable parce qu'à l'époque de Dirichlet on ne savait pas intégrer les fonctions n'y satisfaisant pas. Pour se débarrasser en partie de cette restriction, Dirichlet a étendu quelque peu la notion d'intégrale et l'a appliquée à certaines fonctions ayant une infinité de points de discontinuité. Ces travaux de Dirichlet ne nous sont parvenus que par le Mémoire de Lipschitz déjà cité. Les travaux de M. Jordan ont permis de laisser entièrement de côté la restriction de Dirichlet, de sorte que le théorème reste exact si, par fonction satisfaisant aux conditions de Dirichlet, on entend une fonction / qui ne cesse d'être croissante pour devenir décroissante ou inversement qu'en un nombre fini de points et, de plus,

(*) Comptes rendus, 1881.

( 2 ) Journal de C relie, t. 4.

74 CHAPITME III.

telle que \f\ ait une intégrale. Notre démonstration est valable pour ce cas.